Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

Definizione

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

\chi (x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali $\mathbb {Q}$ . Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

\chi (x)={\begin{cases}0,&x\in \mathbb {Q} ,\\1,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come $1-\chi$ .

Continuità e integrabilità

La funzione di Dirichlet è una funzione che non è continua in nessun punto del dominioː poiché sia $\mathbb {Q}$ sia l'insieme dei numeri irrazionali sono densi in $\mathbb {R}$ , ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie), e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla poiché l'insieme dei numeri razionali è numerabile, mentre gli irrazionali non lo sono) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo $[a,b]$ è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione $1-\chi$ sull'intervallo $[a,b]$ vale $b-a$ .

Altre proprietà

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

\chi (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\lim _{m\rightarrow \infty }\cos \left(\pi n!x\right)^{2m}\right).

La funzione $1-\chi$ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni $x$ razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni $x$ irrazionale.

Funzione di Dirichlet modificata

Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

\mathrm {X} (x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&x={\frac {p}{q}},{\mbox{con }}{\frac {p}{q}}{\mbox{ ridotta ai minimi termini}},\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases}}

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo $\varepsilon$ , la funzione supera $\varepsilon$ solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di $x$ : preso infatti un numero irrazionale $x_{0}$ e fissato un valore positivo $\varepsilon$ , esiste sempre un intorno di $x_{0}$ in cui $\mathrm {X} (x_{0})<\varepsilon$ ; segue quindi che:

\lim _{x\rightarrow x_{0}}\mathrm {X} (x)=0.

Bibliografia

John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.