Integrale di Riemann

In analisi matematica, l'integrale di Riemann è un operatore integrale tra i più utilizzati in matematica. Formulato da Bernhard Riemann, si tratta della prima definizione rigorosa di integrale di una funzione su un intervallo a essere stata formulata.

Definizione

Si consideri una funzione continua $f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , che su tale intervallo risulta limitata in virtù del teorema di Weierstrass. Si suddivida l'intervallo tramite una partizione ${\mathcal {P}}=\{x_{0},\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n-1},\ x_{n}|x_{0}=a<x_{1}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b\}$ in $n$ intervalli $[x_{i},x_{i+1}]\subset [a,b]$ . Si definisce il calibro di una partizione ${\mathcal {P}}$ il massimo tra le ampiezze di tutti gli intervalli della partizione scelta, cioè

c_{\mathcal {P}}:=\max _{i=0,\ldots ,n-1}\{x_{i+1}-x_{i}\}.

Per ogni intervallo $[x_{i},x_{i+1}]$ si scelga arbitrariamente un elemento $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ e si definisca la somma di Riemann come:

\sigma _{n}=\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i}).

Alcune scelte comuni sono

$t_{i}=x_{i},$ in tal caso si ha una somma sinistra di Riemann;
$t_{i}=x_{i+1},$ in tal caso si ha una somma destra di Riemann;
$t_{i}={\frac {x_{i+1}+x_{i}}{2}},$ in tal caso si ha una somma media di Riemann.

La funzione $f$ è integrabile secondo Riemann o Riemann-integrabile in $[a,b]$ se esiste finito il limite (che si dimostra non dipendere dalla scelta dei $t_{i}$ ):

\lim _{c_{\mathcal {P}}\to 0}\sigma _{n}=:\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.

Integrale multiplo di Riemann

Sia $N\subset \mathbb {R} ^{n}$ un dominio normale, $f\colon N\to \mathbb {R} ^{n}$ limitata e $\mu$ una misura. Sia ${\mathcal {P}}=\{N_{1},\ \dots ,\ N_{k}\}$ una partizione di $N$ in domini normali.

Si definisce la somma di Riemann-Darboux come:

\sigma _{k}=\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}.

In generale la funzione $f$ è integrabile in $N$ se esiste finito il limite:

\lim _{\mu (N_{i})\to 0}\sum _{i=1}^{k}\mu (N_{i})\,{\underset {x\in N_{i}}{f(x)}}=\int _{N}\!f(x)\,\mathrm {d} x_{1}\dots \mathrm {d} x_{n}.

Proprietà

Riemman-integrabilità e Darboux-integrabilità

In generale una funzione è Riemann-integrabile se e solo se è Darboux-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e siano $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ . Allora:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,b]$ e sia $c\in [a,b]$ . Allora:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.

Monotonia

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a,b]$ e $f(x)\leq g(x)$ . Allora:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)dx.

Valore assoluto

Sia $f$ integrabile in un intervallo $[a,b]$ , allora si ha:

\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx.

Integrale di Stieltjes

Una possibile generalizzazione dell'integrale di Riemann è data dall'integrale di Riemann-Stieltjes, che rende possibile estendere la nozione di integrale utilizzando come variabile di integrazione sotto il segno di differenziale una funzione (detta integratrice):

\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g.

Se la funzione $g$ è differenziabile, vale la formula $\mathrm {d} g(x)=g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x$ , e l'integrale di Riemann-Stieltjes coincide con quello di Riemann di $fg^{\prime }$ , cioè:

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x.

L'integrale di Riemann-Stieltjes è tuttavia definito anche nel caso di funzioni integratrici più generiche, che non possiedono derivata, o che sono discontinue.

L'integrale di Riemann-Stieltjes generalizza l'integrale di Riemann in maniera diversa da quello di Lebesgue, e gli insiemi delle funzioni integrabili tramite i due metodi non sono sovrapponibili. È possibile tuttavia ottenere una generalizzazione di entrambi i metodi tramite l'integrale di Lebesgue-Stieltjes.

Bibliografia

Giuseppe Scorza Dragoni - Elementi di analisi matematica I,II, III - Padova
Mauro Picone, Gaetano Fichera - Lezioni di analisi matematica I,II - Roma
Jean Favard - Cours d'analyse I,II - Parigi
Federico Cafiero - Misura di integrazione - Roma
Mauro Picone, Tullio Viola - Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione - Torino
Henri Lebesgue - Leçons sur l'intégration et la recherche de functions primitives - Parigi (1904)
Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica - Torino (1920)
Ernesto Cesaro - Elementi di calcolo infinitesimale - Napoli
Tom M. Apostol - Calcolo, Volume primo, Analisi 1 - Bollati Boringhieri
Michiel Berstch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 9788820728199, capitolo 8.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, capitolo 8.

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Riemann, integrale di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Opere riguardanti Riemann integral, su Open Library, Internet Archive.
(EN) Eric W. Weisstein, Riemann Integral, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Riemann integral, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
Interactive Multipurpose Server (WIMS)

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 19570

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