Funzione gradino di Heaviside

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione.

La derivata distribuzionale della funzione di Heaviside $H$ è la delta di Dirac $\delta (x)$ :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(x)=\delta (x),

mentre la funzione rampa $R$ ne è la primitiva:

R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathop {} \!\mathrm {d} \xi =xH(x).

La funzione a gradino è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

Inoltre tale funzione è utilizzata in fluidodinamica per lo studio di flussi multifase con interfaccia sharp.

Definizione

Si indica con:

\Theta (x)={\begin{cases}0,&x<0\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}

Spesso, al posto di $\Theta (x)$ , si usano le notazioni $\delta ^{(-1)}(x)$ , $u(x)$ o $h(x)$ , o ancora, con abuso di notazione, $1(x)$ .

Se viene definita come una distribuzione, è la funzione $\Theta (x)$ tale per cui:

\int \Theta (x)f'(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=-f(0),

dove $f'$ è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido.

Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:

\Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\varepsilon }e^{-ix\tau }\mathop {} \!\mathrm {d} \tau \right).

Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).

La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac:

\Theta (x)=\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}\mathop {} \!\mathrm {d} t.

Il valore di $\Theta (0)$ non è del tutto standard: alcuni scrittori assumono $\Theta (0)=0$ , altri $\Theta (0)=1.$ La scelta più utilizzata rimane comunque $\Theta (0)=1/2$ perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:

\Theta (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn} x\right)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}

Per rimuovere l'ambiguità sul valore di $\Theta (0)$ da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:

\Theta _{n}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\n,&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}

Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:

\Theta _{T}(t)=\Theta (t-T).

Il prodotto di una funzione per la funzione $\Theta$ dà una funzione unilatera.

Forma discreta

Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta $n$ :

\Theta [n]={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0,\end{cases}}

dove $n$ è intera. Questa funzione è la somma fino a $n$ della delta di Kronecker:

\Theta [n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],

dove $\delta [k]=\delta _{k,0}$ è la delta di Dirac.

Trasformata di Fourier

Un altro modo per scrivere il gradino di Heaviside è

\Theta (t)=\lim _{\alpha \to 0}\exp(-t\alpha ^{|t|/t})

la cui trasformata di Fourier è:

{\tilde {\Theta }}(t)={\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega ),

dove $\delta (\omega )$ è la delta di Dirac. Cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è $1/(i\omega )$ eccetto che in $\omega =0$ , dove è presente una singolarità in cui è concentrato lo spettro.

Bibliografia

Milton Abramowitz e Irene Stegun, Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables, collana Dover books on mathematics, 9. Dover print.; [Nachdr. der Ausg. von 1972], Dover Publ, 2013, ISBN 978-0-486-61272-0.
(EN) Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H(x)." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
(EN) Ram P. Kanwal, Distributional Derivatives of Functions with Jump Discontinuities, Birkhäuser, 1998, pp. 99–137, DOI:10.1007/978-1-4684-0035-9_5, ISBN 978-1-4684-0035-9. URL consultato il 30 giugno 2023.
(EN) Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step u(x-a) and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.