Funzione segno

Funzione segno

In matematica e in informatica, la funzione segno è una funzione matematica definita a tratti che estrae il segno di un numero reale. Per evitare confusioni con la funzione seno, questa funzione è spesso chiamata funzione signum.

Definizione

La funzione segno è spesso rappresentata con sgn, e può essere definita come segue:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1,&{\textrm {se}}\ x<0,\\0,&{\textrm {se}}\ x=0,\\1,&{\textrm {se}}\ x>0,\end{matrix}}\right.$

o usando la notazione di Iverson:

$\ \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0].$

Ogni numero reale può essere espresso come prodotto del suo valore assoluto e della sua funzione segno:

$x=(\operatorname {sgn} x)|x|.\qquad \qquad (1)$

Dall'equazione (1) segue che per $x\neq 0$ si ha

$\operatorname {sgn} x={x \over |x|}.\qquad \qquad (2)$

Dunque potremmo anche dare un'ulteriore definizione alternativa alla funzione segno col seguente modello:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}{x \over |x|},&{\textrm {se}}\ x\neq 0,\\0,&{\textrm {altrimenti.}}\end{matrix}}\right.$

La funzione segno è la derivata della funzione valore assoluto (a meno della singolarità in 0):

${\frac {\mathrm {d} |x|}{\mathrm {d} x}}={\frac {|x|}{x}}.$

La funzione segno è differenziabile con derivata 0 ovunque eccetto in 0. Non è differenziabile in 0 nel senso ordinario, ma sotto una nozione generalizzata di differenziabilità (cf. distribuzione) possiamo dire che la derivata della funzione segno è il doppio della delta di Dirac:

${\frac {\mathrm {d} \operatorname {sgn} x}{\mathrm {d} x}}=2\delta (x).$

La funzione segno è esprimibile con la funzione gradino di Heaviside h_½(x):

$\operatorname {sgn} x=2h_{1/2}(x)-1,$

dove il pedice ½ indica che la funzione gradino in 0 è pari a 1/2.

La funzione segno, per ogni $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$, può essere generalizzata ai numeri complessi:

$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}.$

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