Risoluzione all'identità

In matematica, la risoluzione all'identità è una formula che ha importanti risvolti pratici nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, in particolare nella risoluzione di problemi legati a spazi vettoriali dotati di una base ortonormale.

La relazione

Sia $T$ un operatore autoaggiunto ed $E\subset \mathbb {R}$ un insieme di Borel. Detta $\mathbf {1} _{E}$ la funzione indicatrice di $E$ , allora $\mathbf {1} _{E}(T)$ è una proiezione autoaggiunta su $H$ , e la risoluzione all'identità:

\Omega :E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)

è una misura a valori di proiettore per $T$ . Se $T$ è ambientato in uno spazio di Hilbert $H$ , la misura di $\mathbb {R}$ rispetto a $\Omega$ è l'operatore identità su $H$ .

Adoperando la notazione di Dirac, in cui $|\cdot \rangle$ rappresentano vettori in $H$ e $\langle \cdot |$ covettori (cioè funzionali lineari) nello spazio duale $H^{*}$ , è possibile rappresentare ogni vettore $|\psi \rangle$ nella forma:

|\psi \rangle =a_{1}|e_{1}\rangle +\cdots +a_{n}|e_{n}\rangle =\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }

dove l'insieme di vettori $\{|e_{k}\rangle \}_{k=1}^{n}$ è una base ortonormale di tale spazio rispetto al prodotto hermitiano $\langle \cdot |\cdot \rangle$ definito su $H$ . La normalizzazione è data da:^[1]

\langle \psi |\psi \rangle =1

In particolare, essendo la base ortonormale, si ha che:

\langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}

dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker. La risoluzione all'identità è data dalla relazione di completezza:

id_{H}=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|

dove $id_{H}$ è l'identità su $H$ di dimensione $n$ .

In uno spazio di Hilbert allargato, di dimensione infinita (e non numerabile), si scrive:

\int {dx|x\rangle \langle x|}=id

dove l'integrale è esteso su tutto l'insieme di variabilità delle $x$ .

Dimostrazione

Per la linearità del prodotto hermitiano, dato un qualunque vettore:

|\psi \rangle =\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }\in H

vale la proprietà:

\langle e_{j}|\psi \rangle =\langle e_{j}|\left(\sum _{k}{a_{k}|e_{k}\rangle }\right)=\sum _{k}{a_{k}\langle e_{j}|e_{k}\rangle }=a_{j}

Si può dunque scrivere l'identità:

\left(id_{H}-\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|}\right)|\psi \rangle =|\psi \rangle -\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|\psi \rangle }=|\psi \rangle -\sum _{k}{|e_{k}\rangle a_{k}}=|\psi \rangle -|\psi \rangle =0

da cui discende

id_{H}-\sum _{k}{|e_{k}\rangle \langle e_{k}|}=O_{H}

dove $O_{H}$ è la funzione nulla su $H$ , cioè la tesi.

Note

^ Per la sesquilinearità del prodotto hermitiano, il numero $\langle \psi |\psi \rangle$ è reale per ogni vettore $|\psi \rangle$ .

Bibliografia

F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)
N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in a Hilbert space , 1–2 , F. Ungar (1961–1963)
L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) V.I. Sobolev, Resolution of the identity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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[1] Per la sesquilinearità del prodotto hermitiano, il numero $\langle \psi |\psi \rangle$ è reale per ogni vettore $|\psi \rangle$ .

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