Proiezione azimutale equivalente di Lambert

La proiezione azimutale equivalente di Lambert è una proiezione cartografica mediante la quale una qualunque sfera viene rappresentata su di un disco. Essa conserva le aree in ogni parte della sfera, mentre non riproduce fedelmente gli angoli. Prende il nome dal matematico svizzero Johann Heinrich Lambert, che la formulò nel 1772.^[1]

La proiezione azimutale di Lambert è utilizzata in cartografia. Per esempio l'Agenzia europea dell'ambiente ne raccomanda l'uso per le analisi statistiche^[2].

Definizione

Sezione perpendicolare della sfera e del piano tangente in S

Per descrivere la proiezione azimutale di Lambert bisogna immaginare un piano tangente la sfera nel punto S. Chiamiamo P un qualsiasi altro punto sulla superficie della sfera che non sia l'antipodo di S, e d la distanza fra S e P in uno spazio tridimensionale (cioè non la distanza sulla superficie sferica). Allora la proiezione di P sul piano sarà rappresentata dal punto P′ che disposto alla distanza d sul piano dal punto S.

Per essere più precisi si prende l'unico cerchio che abbia centro in S, passi attraverso P e sia perpendicolare al piano di proiezione. Esso interseca il piano in due punti; sia P′ quello più vicino aP. Questo è la proiezione di P sul piano. Casi particolari sono quelli di S che è proiezione di se stesso (lungo un cerchio di raggio 0) e quello dell'antipodo di S, che è escluso dalla proiezione, perché il cerchio richiesto non è unico.^[3] Questo punto è rappresentato dall'intera circonferenza che delimita la carta geografica.

Per enunciare le formule delle funzioni che definiscono la proiezione azimutale di Lambert, consideriamo la proiezione con centro in S = (0, 0, -1) sulla sfera unitaria, che è l'insieme dei punti (x, y, z) in uno spazio tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$ tale chex² + y² + z² = 1. In un sistema di riferimento cartesiano in cui siano $(x,y,z)$ le coordinate sulla sfera e $(X,Y)$ quelle sul piano, la proiezione ed il suo inverso saranno espresse con le funzioni:

(X,Y)=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}y\right),

(x,y,z)=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).

Esprimendo in un sistema di riferimento sferico in cui siano $(\phi ,\theta )$ le coordinate sulla sfera (con $\phi$ lo zenit e $\theta$ l'azimut) e in un sistema di coordinate polari $(R,\Theta )$ le coordinate sul disco, la carta geografica ed il suo inverso saranno espresse dalle funzioni^[3]:

(R,\Theta )=\left(2\cos(\phi /2),\theta \right),

(\phi ,\theta )=\left(2\arccos(R/2),\Theta \right).

Indicando, infine, in un sistema di coordinate cilindriche $(r,\theta ,z)$ i punti sulla sfera e in coordinate polari $(R,\Theta )$ quelli sul piano, la carta ed il suo inverso saranno espresse dalle funzioni:

(R,\Theta )=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),

(r,\theta ,z)=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).

La proiezione può avere centro in altri punti ed essere definita per sfere con raggio diverso da 1, utilizzando formule simili^[4].

Note

^ Karen Mulcahy, Lambert Azimuthal Equal Area, su geo.hunter.cuny.edu, City University of New York. URL consultato il 30 marzo 2007.
^ Short Proceedings of the 1st European Workshop on Reference Grids, Ispra, 27-29 October 2003 (PDF), su eusoils.jrc.ec.europa.eu, Agenzia europea dell'ambiente, 14 giugno 2004, p. 6. URL consultato il 27 agosto 2009.
^ ^a ^b Borradaile (2003).
^ Coordinate Conversions and Transformations including Formulas, su epsg.org, International Association of Oil & Gas Producers, 2009. URL consultato il 6 ottobre 2010 (archiviato dall'url originale il 26 luglio 2011).

Bibliografia

Borradaile, Graham J., Statistics of Earth science data, Berlin, Springer-Verlag, 2003, ISBN 3-540-43603-0.
Do Carmo, Manfredo P., Differential geometry of curves and surfaces, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 1976, ISBN 0-13-212589-7.
Hobbs, Bruce E., Means, Winthrop D., and Williams, Paul F., An outline of structural geology, New York, John Wiley & Sons, Inc, 1976, ISBN 0-471-40156-0.
Ramsay, John G., Folding and fracturing of rocks, New York, McGraw-Hill, 1967.
Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry, Houston, Texas, Publish or Perish, 1999, ISBN 0-914098-70-5.