Proiezione stereografica

In geometria e in cartografia per proiezione stereografica si intende la proiezione dei punti sulla superficie di una sfera da un punto N della sfera stessa (che spesso viene chiamato polo Nord della sfera) sopra un piano che è, solitamente, o il piano equatoriale, o il tangente alla sfera nel suo punto (antipodale ad N) chiamato S, polo Sud.

Questa proiezione determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera privata di N e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all'infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.

Questa proiezione associa alle circonferenze ottenute intersecando la sfera con piani paralleli a quello tangente in S delle circonferenze del piano aventi centro in S. Unico punto fisso della proiezione è S, punto limite delle circonferenze precedenti.

In cartografia una proiezione stereografica della Terra è detta polare, equatoriale o obliqua in funzione della scelta del punto di proiezione (un polo, un punto sull'equatore, o altrove).

Definizione

La sfera unitaria nello spazio tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$ è l'insieme dei punti $(x,y,z)$ tali che $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . Sia $N=(0,0,1)$ il "polo nord", e sia $M$ il resto della sfera. Il piano $z=0$ passa per il centro della sfera; "l'equatore" è l'intersezione della sfera con questo piano.

Per ogni punto $P$ su $M$ , esiste un'unica retta passante per $N$ e $P$ , e questa retta interseca il piano $z=0$ in un unico punto $P'$ . Si dice proiezione stereografica di $P$ questo punto $P'$ nel piano.

Esprimiamo la proiezione stereografica in formule esplicite. In coordinate cartesiane $P=(x,y,z)$ sulla sfera e $P'=(X,Y)$ sul piano, la proiezione e la sua inversa sono date dalle formule

(X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),

(x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).

Proprietà

Ipparco di Nicea mostrò che la proiezione stereografica è una proiezione conforme (mantiene gli angoli, cioè ha modulo di deformazione lineare costante e modulo di deformazione angolare nullo) e che l'immagine di una circonferenza può essere solo una retta o una circonferenza.^[1]