Regola del quoziente

In analisi matematica, la regola del quoziente è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del quoziente di due funzioni derivabili.

Definizione

La derivata del rapporto fra due funzioni è un rapporto avente come numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno la derivata del denominatore per il numeratore, e come denominatore il quadrato del denominatore originario.

D{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che g(x), essendo al denominatore, non si annulli mai nell'intervallo o nel punto interessato dal calcolo per non rendere indefinito il risultato.

La regola del quoziente però può anche essere considerata un caso particolare della regola del prodotto - anch'essa utilizzata per la derivazione - con secondo fattore 1/g(x), solo che spesso torna più facile ai fini del calcolo per la maggior complicanza della derivata dell'inversa.

Dimostrazione tramite il rapporto incrementale

Applicando la definizione di derivata, come limite del rapporto incrementale:

F'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\qquad \qquad (1)

Si deriva, ipotizzando entrambe le funzioni f(x) e g(x) derivabili in x e g(x) non nulla, che:

\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}=\left[{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]\cdot {\frac {1}{h}}

Si riduce tutto al minimo comune multiplo:

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}\cdot {\frac {1}{h}}

Ora aggiungiamo e togliamo f(x)g(x):

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x)g(x+h)}}\cdot {\frac {1}{h}}

Raccogliendo f(x) e g(x) e sistemando i numeratori si viene a

\lim _{h\to 0}{\frac {g(x){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\;-\;f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)g(x+h)}}

Siccome g(x) è, per ipotesi, non nulla e derivabile in x, quindi è qui anche continua:

\lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)

.

Per la (1), si conclude che:

\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)

\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=g'(x)

e quindi ${\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}$ cvd.

Dimostrazione tramite la regola del prodotto

Applicando la regola del prodotto e la regola della funzione reciproca, si ha:

$D{\frac {f(x)}{g(x)}}\;=\;D\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\;=\;f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {-g'(x)}{g^{2}(x)}}\;=\;{\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}$