Regola della funzione reciproca

In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile.

Definizione

La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.

D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}},

dove $D[f(x)]$ e $f'(x)$ sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.

Dimostrazione tramite il rapporto incrementale

Scrivendo il rapporto incrementale della funzione ${1 \over g(x)}$ otteniamo:

D\left[{1 \over g(x)}\right]=\lim _{h\to 0}{{1 \over g(x+h)}-{1 \over g(x)} \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over g(x+h)g(x)}\cdot {1 \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}\cdot {1 \over g(x+h)g(x)}.

Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di $g,$

\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}=\lim _{h\to 0}\left(-{g(x+h)-g(x) \over h}\right)=-g'(x);

mentre il secondo fattore, per la continuità della $g,$ "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:

D\left[{1 \over g(x)}\right]=-g'(x)\cdot {1 \over g(x)g(x)}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.

Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo $f(x)=x^{-1}$ possiamo determinare la derivata come:

D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)=-g(x)^{-2}\cdot g'(x)={-g'(x) \over g(x)^{2}}.

Dimostrazione tramite la regola della catena

Posto $g(x)={\frac {1}{x}}$ , ricordiamo che $\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}=(g\circ f)(x)$ , e quindi

\displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=D\left[(g\circ f)(x)\right].

Se applichiamo al secondo membro della precedente equazione la regola della catena (poiché $D\left[{\frac {1}{x}}\right]=-{\frac {1}{x^{2}}}$ ), otteniamo che