Semispazio di Poincaré

Il semispazio di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il disco di Poincaré.

Definizione

Il semispazio di Poincaré è il semispazio $n$ -dimensionale

H^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ x_{n}>0\}

ds^{2}={\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{x_{n}^{2}}}.

In altre parole, il tensore metrico nel punto $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ è

g_{ij}={\frac {1}{x_{n}^{2}}}\delta _{ij}

dove $\delta$ è la delta di Kronecker. Cioè

g={\frac {1}{x_{n}^{2}}}I

dove $I$ è la matrice identità $n$ -dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

{\frac {1}{x_{n}^{2}}}

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano $x_{n}=0$ .

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il semispazio di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione $n$ . Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Attraverso una opportuna inversione circolare si può costruire facilmente un isomorfismo tra questo modello e il disco di Poincaré.