Teorema di Krasnoselskii

In matematica, il teorema di Krasnoselskii è un teorema di punto fisso che prende il nome dal matematico Mark Krasnoselskii. Riguarda l'esistenza di un punto fisso per la funzione data dalla somma di una funzione continua e compatta con una contrazione. Il risultato è stato generalizzato da Edmunds e Reinermann per il caso di una funzione non espansiva e una fortemente continua.

Enunciato di Krasnoselskii

Sia $X$ uno spazio di Banach, e $C$ un sottoinsieme di $X$ chiuso, convesso e non vuoto.

Siano $A,B:C\to X$ funzioni tali che:

• $B(x)+A(y)\in M\,\forall x,y\in M$
• $A$ è continua e compatta
• $B$ è una contrazione con costante di Lipschitz $\alpha <1$

allora esiste $x\in C$ che sia un punto fisso per $A+B$, ovvero che soddisfa $A(x)+B(x)=x$.

Estensione di Edmunds e Reinermann

Sia $X$ uno spazio di Banach, e $C\subset X$ un sottoinsieme di $X$ chiuso, convesso, limitato e non vuoto. Se $F_{1}:C\to X$ è una funzione non espansiva e $F_{2}:C\to X$ una funzione fortemente continua, allora la somma $F_{1}+F_{2}:C\to X$ ha un punto fisso.

Bibliografia

• (EN) Smart, D. R., Fixed point theorems, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 66, Cambridge University Press, London 1974, ISBN 0-521-29833-4.
• (EN) Zeidler, Eberhard: "Nonlinear functional analysis and its applications. I", Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-90914-1.

Voci correlate

• Punto fisso
• Teoremi di punto fisso

Collegamenti esterni

• (EN) R. Vijayaraju, Fixed point theorems for a sum of two mappings in locally convex spaces (PDF), su emis.de.