Teoria delle categorie

La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

Definizione

Una categoria ${\mathcal {C}}$ consiste di quanto segue.

Una classe ${\text{ob}}({\mathcal {C}})$ i cui elementi sono chiamati oggetti.
Una classe ${\text{mor}}({\mathcal {C}})$ i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente $a$ e un unico oggetto destinazione $b$ in ${\text{ob}}({\mathcal {C}})$ . La scrittura $f:a\to b$ indica che $f$ è un morfismo con sorgente $a$ e destinazione $b$ . La classe dei morfismi da $a$ a $b$ è indicata con ${\text{mor}}(a,b)$ .
Per ogni terna di oggetti $a$ , $b$ e $c$ di ${\mathcal {C}}$ , è definita una funzione ${\text{mor}}(b,c)\times {\text{mor}}(a,b)\to {\text{mor}}(a,c)$ , chiamata composizione di morfismi. La composizione di $f:b\to c$ con $g:a\to b$ si indica con $f\circ g:a\to c$ (talvolta si indica semplicemente $fg$ ).

La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

(associatività) se $f:a\to b$ , $g:b\to c$ e $h:c\to d$ , allora $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
(identità) per ogni oggetto $x$ esiste un morfismo ${\text{id}}_{x}:x\to x$ , chiamato morfismo identità su $x$ , tale che per ogni morfismo $f:a\to x$ vale ${\text{id}}_{x}\circ f=f$ e per ogni morfismo $g:x\to b$ si ha $g\circ {\text{id}}_{x}=g$ .

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe dei morfismi (e quindi quella degli insiemi, in corrispondenza biunivoca coi morfismi identità come detto sopra) è un Insieme e grande altrimenti, ovvero se i morfismi formano una classe propria. Se per ogni coppia di oggetti $a,b$ in una categoria la classe dei morfismi ${\text{mor}}(a,b)$ tra di essi è un insieme, la categoria si dice localmente piccola (in particolare, ogni categoria piccola è localmente piccola). Molte importanti categorie sono grandi ma localmente piccole, come ad esempio la categoria degli insiemi e le funzioni tra di essi.

Esempi

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

Come sopra, gli insiemi e le funzioni tra essi
I monoidi e gli omomorfismi tra essi
I gruppi coi loro omomorfismi
Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
Gli spazi topologici e le funzioni continue
Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto $X$ (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale $C^{*}$ che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme $Mor(A,B)$ diventa l'insieme $Mor(B,A)$ ).
Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: $(c_{1},d_{1})\circ (c_{2},d_{2}):=(c_{1}\circ 'c_{2}\,,\,d_{1}\circ ''d_{2})$ .

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama

monomorfismo se $fg_{1}=fg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}$ per tutti i morfismi $g_{1},g_{2}:X\rightarrow A$ .
epimorfismo se g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.
isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.
endomorfismo se A = B.
automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
F(g $\circ$ f) = F(g) $\circ$ F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali

Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo η_X : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo η_Y $_{\circ }$ F(f) = G(f) $_{\circ }$ η_X; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia

(EN) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories Archiviato il 21 aprile 2015 in Internet Archive., John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
(EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
(EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categories and Structures, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X
(EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3
(EN) Robert Goldblatt (1984): Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Dover
William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio
(EN) William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press
(EN) Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer ISBN 0-387-98403-8
(EN) Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla teoria delle categorie

Collegamenti esterni

Santuzza Baldassarri Ghezzo, CATEGORIE, Teoria delle, in Enciclopedia Italiana, IV Appendice, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1978.
(EN) category theory, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Jean-Pierre Marquis, Category Theory, su Stanford Encyclopedia of Philosophy.
(EN) Eric W. Weisstein, Category Theory, su MathWorld, Wolfram Research.
Note sulla teoria delle categorie^{[collegamento interrotto]} (in inglese, file .ps compresso con Gzip)

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