Triedro

Il triedro è una figura solida convessa illimitata determinata da tre semirette uscenti da un punto.

Definizione e proprietà geometriche

Sia O un punto nello spazio, a, b, c tre semirette uscenti da O: esse definiscono, a due a due, tre angoli convessi (aÔb, bÔc, cÔa), e tre diedri convessi (ognuno dei quali ha una delle semirette nello spigolo, e le altre due giacenti sulle facce). L'intersezione dei tre diedri è detta triedro.

I tre angoli sono detti facce del triedro, le tre semirette spigoli, i tre diedri diedri del triedro. L'unione delle facce del triedro è detta superficie del triedro, e separa i punti interni al triedro da quelli esterni. Dati due qualsiasi diedri del triedro, la loro intersezione coincide con il triedro. Il triedro è un esempio di angolo solido, più precisamente un angoloide. L'intersezione di un triedro con un piano non parallelo a nessuna delle facce, è banale o è un triangolo.

Orientazione e uguaglianza di triedri

Su un triedro è possibile indurre un'orientazione: ovvero si fissa uno dei due possibili ordini di circolazione sugli spigoli (o sulle facce, o sui diedri). Il triedro orientato sarà detto destrorso se, immaginandosi all'interno del triedro con i piedi nel punto da cui escono gli spigoli, la circolazione, nel momento in cui passa davanti a noi, va da destra a sinistra; altrimenti sarà detta sinistrorso. L'orientazione può anche essere determinata con la regola della mano destra (il triedro è destrorso se e solo se le tre semirette in successione soddisfano a tale regola), o con il prodotto triplo (il triedro è destrorso se il prodotto triplo di vettori con la stessa direzione e verso degli spigoli, presi in successione, è positivo). La riflessione rispetto a un piano inverte l'orientazione.

Esempi

• Un sistema di coordinate lineari nello spazio definisce un triedro.
• Il sistema di coordinate cartesiane dello spazio definisce un triedro.
• Due vettori non paralleli e non nulli e il loro prodotto vettoriale formano un triedro.

Triedro principale

In una curva sghemba, il triedro principale è costituito dalla tangente, dalla normale principale e dalla binormale alla curva in qualsiasi punto della curva.

Il Triedro di Frenet è il corrispondente orientato del triedro principale di una curva sghemba.

Le facce del triedro principale prendono il nome di:

• Piano Normale, quello generato dalla normale principale e dalla binormale;
• Piano Osculatore, quello generato dalla tangente e dalla normale principale;
• Piano Rettificante, quello generato dalla tangente e dalla binormale.

Bibliografia

• Federigo Enriques, Ugo Amaldi, Triedri e angoloidi,, in Elementi di geometria, Studio Tesi, 1992, p. 289.
• E.J. Borowski-J.M.Borwein ed altri, Dizionario Collins della Matematica, Roma, 1998 ISBN 88-7742-186-X
• Attilio Frajese, Triedro, in Enciclopedia Italiana, XII, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1937, p. 378. URL consultato il 10 aprile 2014.

Voci correlate

• Prodotto vettoriale
• Solido
• Geometria differenziale delle curve

Collegamenti esterni

• Triedro, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.