Riflessione (geometria)

Riflessione nel piano lungo una retta verticale.

In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).

Definizione

Sia $\pi$ un iperpiano in uno spazio euclideo di dimensione $n$ passante per l'origine. In altre parole, $\pi$ è un sottospazio vettoriale di dimensione $n-1$.

Una riflessione rispetto a $\pi$ è la trasformazione lineare data da

$\mathrm {Ref} _{a}({\vec {v}})={\vec {v}}-2{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}$

dove $a$ è un qualsiasi vettore ortogonale a $\pi$, e $v\cdot a$ è il prodotto scalare fra $v$ ed $a$.

Sia $P$ un punto nello spazio euclideo. Una riflessione rispetto a $P$ è la trasformazione lineare data da

$\mathrm {Ref} _{p}({\vec {v}})=2{\vec {p}}-{\vec {v}}$

Proprietà

• La matrice associata ad una riflessione rispetto ad una base ortonormale i cui primi $n-1$ elementi sono contenuti nell'iperpiano è molto semplice: è una matrice diagonale aventi tutti i valori $1$ sulla diagonale tranne l'ultimo, che è $-1$.
• La composizione di due riflessioni lungo lo stesso iperpiano $p$ è la funzione identità.
• La composizione di due riflessioni del piano lungo rette distinte può essere una rotazione o una traslazione.
• Ogni matrice associata ad una riflessione rispetto ad una qualsiasi base è una matrice ortogonale con determinante uguale a $-1$.
• Utilizzando la definizione di matrice di Householder, si possono ricavare molto facilmente le equazioni relative a questo tipo di trasformazione.

Geometria euclidea piana

Simmetria rispetto a un punto, o centrale

Nel piano euclideo, due punti $A$ e $A'$ si dicono simmetrici rispetto a una retta r (cui non appartengono) quando $r$ è l'asse del segmento ${\overline {AA'}}$. Il punto $A'$ è il simmetrico di A rispetto ad $r$ e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto $A$ che non appartiene ad $r$ il punto $A'$ suo simmetrico, e ad ogni punto $C$ in $r$ associa il punto $C$ stesso, è detta simmetria assiale di asse $r$ nel piano considerato.

La simmetria assiale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione $\eta _{r}$ per indicare la simmetria assiale di asse $r$; il simmetrico di $A$ si scrive quindi ${\rm {A}}'=\eta _{r}({\rm {A}})$.

La simmetria assiale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con se stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria assiale è un'isometria di tipo inverso, cioè inverte l'orientazione degli oggetti (ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il senso di percorrenza dei lati di un triangolo, etc.)

Definizione di simmetria assiale

Si dice simmetria assiale di asse $r$ la trasformazione geometrica che lascia invariata la retta $r$ e che associa ad ogni punto $P$ del piano non appartenente ad $r$ il punto $Q$ in modo tale che il segmento ${\overline {PQ}}$ sia perpendicolare alla retta $r$ e abbia come punto medio $H$, piede della perpendicolare condotta da $P$ a $r$.

Simmetria assiale in geometria analitica

Data l'equazione dell'asse di simmetria $y=mx+q$ e il segmento di estremi $P(x;y)$ e $Q(x';y')$, la retta passante per P e Q è perpendicolare all'asse di simmetria (pertanto $m_{PQ}=-{\frac {1}{m}}$) e lo interseca nel punto medio H di coordinate

$\left({\frac {x+x'}{2}};{\frac {y+y'}{2}}\right)$

Poiché H appartiene all'asse, vale la seguente equazione:

${\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q$

Il coefficiente angolare della retta passante per P e Q si può scrivere come

$m_{PQ}={\frac {y-y'}{x-x'}}$

Pertanto,

${\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}$

Per determinare le coordinate del punto Q, simmetrico di P, si ricorre al sistema di equazioni

${\begin{cases}{\frac {y+y'}{2}}=m{\frac {x+x'}{2}}+q\\{\frac {y-y'}{x-x'}}=-{\frac {1}{m}}\end{cases}}$

Da cui si ricava

${\begin{cases}x'={\frac {-2mq+x-m^{2}x+2my}{m^{2}+1}}\\y'={\frac {2q+2mx-y+m^{2}y}{m^{2}+1}}\end{cases}}$

Casi particolari

• Simmetria assiale rispetto alla retta $y=x$, bisettrice del primo e del terzo quadrante

${\begin{cases}x'=y\\y'=x\end{cases}}$

• Simmetria assiale rispetto alla retta $y=-x$, bisettrice del secondo e del quarto quadrante

${\begin{cases}x'=-y\\y'=-x\end{cases}}$

• Simmetria assiale rispetto alla retta $x=k$, parallela all'asse y

${\begin{cases}x'=2k-x\\y'=y\end{cases}}$

• Simmetria assiale rispetto alla retta $y=k$, parallela all'asse x

${\begin{cases}x'=x\\y'=2k-y\end{cases}}$

• Simmetria assiale rispetto alla retta $x=0$, asse delle ordinate

${\begin{cases}x'=-x\\y'=y\end{cases}}$

• Simmetria assiale rispetto alla retta $y=0$, asse delle ascisse

${\begin{cases}x'=x\\y'=-y\end{cases}}$

In geometria descrittiva

La riflessione è un tipo di corrispondenza biunivoca detta affinità che può essere ortogonale, quando il piano di riflesso (specchio) è ortogonale al piano della figura oggettiva, altrimenti obliqua.

Voci correlate

• Isometria del piano
• Rotazione (matematica)
• Matrice ortogonale
• Gruppo ortogonale
• Affinità (geometria descrittiva)
• Traslazione (geometria)
• Omotetia

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Riflessione, su MathWorld, Wolfram Research.

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