일반위상수학 에서 위상 공간 (位相空間, 영어 : topological space )은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간 이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성 이나 수열의 극한 , 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다.
위상 공간의 개념은 위상수학 및 이를 기초로 하는 기하학 · 해석학 에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 일반위상수학 이라고 한다.
집합
X
{\displaystyle X}
위상 (位相, 영어 : topology )은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다.
(열린집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 들의 모임
T
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
열린집합
∅
,
X
∈
T
{\displaystyle \varnothing ,X\in {\mathcal {T}}}
만약
S
⊆
T
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {T}}}
⋃
S
∈
T
{\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}\in {\mathcal {T}}}
만약
U
,
V
∈
T
{\displaystyle U,V\in {\mathcal {T}}}
U
∩
V
∈
T
{\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {T}}}
(닫힌집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 들의 모임
C
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
닫힌집합
∅
,
X
∈
C
{\displaystyle \varnothing ,X\in {\mathcal {C}}}
만약
S
⊆
C
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}
⋂
S
∈
C
{\displaystyle \bigcap {\mathcal {S}}\in {\mathcal {C}}}
만약
C
,
D
∈
C
{\displaystyle C,D\in {\mathcal {C}}}
C
∪
D
∈
C
{\displaystyle C\cup D\in {\mathcal {C}}}
(근방을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수
N
:
X
→
P
(
P
(
X
)
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}\colon X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))}
N
:
x
↦
N
x
{\displaystyle {\mathcal {N}}\colon x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}}
N
x
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
x
{\displaystyle x}
근방 모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
X
∈
N
x
{\displaystyle X\in {\mathcal {N}}_{x}}
모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
N
∈
N
x
{\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}
x
∈
N
{\displaystyle x\in N}
만약
N
∈
N
x
{\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}
N
⊆
S
⊆
X
{\displaystyle N\subseteq S\subseteq X}
S
∈
N
x
{\displaystyle S\in {\mathcal {N}}_{x}}
만약
M
,
N
∈
N
x
{\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}_{x}}
M
∩
N
∈
N
x
{\displaystyle M\cap N\in {\mathcal {N}}_{x}}
만약
N
∈
N
x
{\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}
N
∈
N
y
∀
y
∈
M
{\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{y}\qquad \forall y\in M}
M
∈
N
x
{\displaystyle M\in {\mathcal {N}}_{x}}
(폐포를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수
cl
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {cl} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
cl
S
{\displaystyle \operatorname {cl} S}
S
{\displaystyle S}
폐포
cl
∅
=
∅
{\displaystyle \operatorname {cl} \varnothing =\varnothing }
모든
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
A
⊆
cl
A
{\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} A}
모든
A
,
B
⊆
X
{\displaystyle A,B\subseteq X}
cl
(
A
∪
B
)
=
cl
(
A
)
∪
cl
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)}
모든
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
cl
(
cl
A
)
=
cl
A
{\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} A)=\operatorname {cl} A}
(내부를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수
int
:
P
(
X
)
→
P
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {int} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}
int
S
{\displaystyle \operatorname {int} S}
S
{\displaystyle S}
내부
int
X
=
X
{\displaystyle \operatorname {int} X=X}
모든
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
A
⊇
int
A
{\displaystyle A\supseteq \operatorname {int} A}
모든
A
,
B
⊆
X
{\displaystyle A,B\subseteq X}
int
(
A
∩
B
)
=
int
(
A
)
∩
int
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)}
모든
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
int
(
int
A
)
=
int
A
{\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} A)=\operatorname {int} A}
이 정의들은 서로 동치 이다.
열린집합을 사용한 정의에서,
닫힌집합 열린집합 의 여집합이다.
x
{\displaystyle x}
근방
N
x
=
{
S
⊂
X
:
∃
U
∈
T
:
x
∈
U
⊆
S
}
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\{S\subset X\colon \exists U\in {\mathcal {T}}\colon x\in U\subseteq S\}}
집합
S
{\displaystyle S}
폐포
cl
S
=
⋂
{
X
∖
U
:
U
∈
T
,
U
∩
S
=
∅
}
{\displaystyle \operatorname {cl} S=\bigcap \{X\setminus U\colon U\in {\mathcal {T}},\;U\cap S=\varnothing \}}
집합
S
{\displaystyle S}
내부
int
S
=
⋃
{
U
∈
T
:
U
⊆
S
}
{\displaystyle \operatorname {int} S=\bigcup \{U\in {\mathcal {T}}\colon U\subseteq S\}}
닫힌집합을 사용한 정의에서, 열린집합
근방을 사용한 정의에서, 열린집합
∀
x
∈
U
:
U
∈
N
x
{\displaystyle \forall x\in U\colon U\in {\mathcal {N}}_{x}}
U
{\displaystyle U}
폐포를 사용한 정의에서, 열린집합
cl
(
X
∖
U
)
=
X
∖
U
{\displaystyle \operatorname {cl} (X\setminus U)=X\setminus U}
U
{\displaystyle U}
내부를 사용한 정의에서, 열린집합
int
(
U
)
=
U
{\displaystyle \operatorname {int} (U)=U}
U
{\displaystyle U}
즉, 근방 · 열린집합 · 닫힌집합 · 폐포 · 내부 가운데 하나를 기본 무정의 개념으로 삼고, 이로부터 나머지 개념들을 정의할 수 있다.
위상 공간
(
X
,
T
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}
같은 집합
X
{\displaystyle X}
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
T
2
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}
동치 이며, 만약 이 조건이 성립한다면
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
T
2
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}
더 섬세하다 (-纖細-, 영어 : finer )고 하며, 반대로
T
2
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
더 거칠다 (영어 : coarser )고 한다.
T
2
⊆
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}}
T
2
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
모든
T
2
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
T
1
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}
기저
B
1
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}}
T
2
{\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}
B
2
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
∈
B
2
∈
B
2
{\displaystyle x\in B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2}}
x
∈
B
1
⊆
B
2
{\displaystyle x\in B_{1}\subseteq B_{2}}
B
1
∈
B
1
{\displaystyle B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1}}
주어진 위상 공간
(
X
,
T
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}
완비 헤이팅 대수 를 이룬다. 즉, 위상 공간은 직관 논리 의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호
◻
{\displaystyle \Box }
내부 에, 양상 기호
◊
{\displaystyle \Diamond }
폐포 에 대응한다.
주어진 집합
X
{\displaystyle X}
완비 유계 격자 를 이룬다. 이 격자의 최대 원소 (즉, 가장 섬세한 위상)는 이산 위상 이며, 최소 원소 (즉, 가장 거친 위상)는 비이산 위상 이다.
주어진 집합
X
{\displaystyle X}
{
T
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{{\mathcal {T}}_{i}\}_{i\in I}}
하한 (만남)은
⋀
i
T
i
=
⋂
i
T
i
{\displaystyle \bigwedge _{i}{\mathcal {T}}_{i}=\bigcap _{i}{\mathcal {T}}_{i}}
이다. 주어진 집합
X
{\displaystyle X}
{
T
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{{\mathcal {T}}_{i}\}_{i\in I}}
상한 (이음)은
⋃
i
∈
I
T
i
{\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {T}}_{i}}
기저 로 하는 위상이다.
위상 공간과 연속 함수 들은 범주 를 이루며, 이 범주를
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
함자
F
:
Top
→
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }
F
:
(
X
,
T
)
↦
X
{\displaystyle F\colon (X,{\mathcal {T}})\mapsto X}
를 통해,
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
구체적 범주 를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 수반 함자 를 갖는다.
D
⊣
F
⊣
I
{\displaystyle D\dashv F\dashv I}
여기서
D
:
Set
→
Top
{\displaystyle D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top} }
D
:
X
↦
(
X
,
P
(
X
)
)
{\displaystyle D\colon X\mapsto (X,{\mathcal {P}}(X))}
은 집합을 이산 공간 으로 대응시키고,
I
:
Set
→
Top
{\displaystyle I\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top} }
I
:
X
↦
(
X
,
{
∅
,
X
}
)
{\displaystyle I\colon X\mapsto (X,\{\varnothing ,X\})}
는 집합을 비이산 공간 으로 대응시킨다.
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
완비 범주 이며 쌍대 완비 범주 이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한 과 쌍대극한 이 존재한다. 시작 대상 은 (유일한 위상을 갖춘) 공집합
(
∅
,
{
∅
}
)
{\displaystyle (\varnothing ,\{\varnothing \})}
끝 대상 은 한원소 공간
(
{
∙
}
,
{
∅
,
{
∙
}
}
)
{\displaystyle (\{\bullet \},\{\varnothing ,\{\bullet \}\})}
집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다. 유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 X = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.
{
∅
,
{
1
,
2
,
3
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1,2,3\}\}}
비이산 위상 )
{
∅
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
1
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1\}\}}
{
∅
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
1
}
,
{
2
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{2\}\}}
{
∅
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
,
{
2
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\},\{2\}\}}
그러나 다음은 위상을 이루지 않는다.
{
∅
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}}
합집합 인 {2,3}이 없으므로 위상이 아니다.
{
∅
,
{
1
,
2
,
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
}
{\displaystyle \{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\}\}}
교집합 인 {2}가 없으므로 위상이 아니다.좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.
전순서 가 주어졌을 때, 이를 사용하여 순서 위상 실수 의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.거리 함수 가 주어졌을 때, 이를 사용하여 거리 위상 실수 의 집합이나 복소수 의 집합 위에, 두 수의 차의 절댓값 은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다.어떤 집합을 곱집합
∏
i
S
i
{\displaystyle \textstyle \prod _{i}S_{i}}
S
i
{\displaystyle S_{i}}
곱위상
동치관계 가 주어져있을 때, 이에 대한 몫집합 에 몫위상 어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
부분 기저
어떤 집합
S
{\displaystyle S}
부분 집합
ι
:
S
↪
T
{\displaystyle \iota \colon S\hookrightarrow T}
T
{\displaystyle T}
S
{\displaystyle S}
부분공간 위상
아무런 구조 없는 집합
S
{\displaystyle S}
모든 집합을 열린집합으로 하는 이산 위상
공집합과 집합 전체 밖에 열린집합이 없는 비이산 위상
쌍대 유한 집합 및 공집합 이 열린집합인 쌍대 유한 위상 (영어 : cofinite topology )보다 일반적으로, 임의의 무한 기수
κ
{\displaystyle \kappa }
|
S
∖
U
|
<
κ
{\displaystyle |S\setminus U|<\kappa }
U
{\displaystyle U}
위상 공간의 개념은 매우 일반적이며, 대부분의 경우 특정한 성질을 만족시키는 위상 공간들을 고려한다. 대표적인 것들은 다음과 같다.
위상 공간은 근방 의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.
위상 공간의 개념은 매우 일반적인 개념이지만, 대수기하학 에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합 을 범주 로 추상화하여, 덮개 의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 범주 위의 그로텐디크 위상 층 들의 범주의 성질을 공리화하면 토포스
범주론 대신, 위상 공간의 열린집합들의 격자론 적 성질(완비 헤이팅 대수 )을 공리화하면 장소 영어 : locale )라는 개념을 얻는다.
1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합 은 거리 공간 에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시 는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한 을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고,[ 1] 펠릭스 하우스도르프 는 근방 의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다.[ 2] 하우스도르프 공간 의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.
↑ Riesz, F. (1909). 〈Stetigkeitsbegriff und abstrakt Mengenlehre〉. 《Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908)》 (독일어). Accademia Nazionale dei Lincei. ↑ Hausdorff, F. (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre》 (독일어). 라이프치히 : von Veit. JFM 45.0123.01 . Zbl 1175.01034 .
이 부분의 본문은 위상의 비교입니다.
