카탈랑 수

비슷한 이름의 카탈랑 상수에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.

조합론에서 카탈랑 수(Catalan數, 영어: Catalan number) 또는 카탈란 수는 이진 트리의 수 따위를 셀 때 등장하는 수열이다.

정의

카탈랑 수

$C\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$

$C\colon n\mapsto C_{n}$

는 자연수열이며, 여러 방법으로 정의될 수 있다. 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

직접적 정의

음이 아닌 정수 n에 대해서, n 번째 카탈랑 수 $C_{n}$는 다음과 같다.

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{n!(n+1)!}}=\prod _{i=2}^{n}{\frac {n+i}{i}}$

여기서 $(-)!$는 계승이며, $\textstyle {\binom {-}{-}}$은 이항 계수이다.

점화식

카탈란 수 Cn의 또 다른 정의는 다음과 같다;

$C_{n}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n+1}}for$ $n\geq 0.$

이 식은 ${\binom {2n}{n+1}}=(n/n+1){\binom {2n}{n}}$과 동치이다.

또한, 이는 식; $C_{n}=(1/n+1){\binom {2n}{n}}$ 과 동치이다.

이 때, $C_{n}$은 (정수)-(정수)꼴이므로 자명히 정수이다. 반면, $C_{n}=(1/n+1){\binom {2n}{n}}$은 (정수)/(정수) 꼴 이므로 $C_{n}$이 항상 정수인지는 자명히 알 수 없다.

또 다른 동치 표현은 다음과 같다; $C_{n}=(1/2n+1){\binom {2n+1}{n}}$

이는 Cycle lemma에 의해 유도된다.

카탈랑 수는 다음과 같은 점화식을 만족한다;

$C_{0}=1$

$C_{n+1}=\sum _{i+j=n}C_{i}C_{j}=C_{0}C_{n}+C_{1}C_{n-1}+\dotsb +C_{n}C_{0}\qquad$ $for\qquad n>0$

또한, 다음과 같은 점화식을 사용할 수도 있다.

$C_{0}=1$

$C_{n+1}={\frac {2(2n+1)}{(n+2)}}C_{n}\qquad$$for\qquad n>0$

생성 함수

카탈랑 수는 그 생성 함수

$C(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}$

를 통해 정의될 수도 있다. 이 경우,

$C(z)=1+zC(z)^{2}$

이므로

$C(z)={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{2n \choose n}{\frac {z^{n}}{n+1}}$

이 된다. 그렇다면 카탈랑 수는

$C_{n}=\left.{\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}C(z)\right|_{z=0}$

이다.

생성 함수를 통한 정의와 구체적 정의가 동치임의 증명

카탈랑 수의 생성 함수를

$C(z)=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}z^{n}$

라고 정의하자. 점화식에 의하여 $C(z)=1+zC(z)^{2}$이므로,

$C(z)={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}$

이다. 그 테일러 급수는 (뉴턴의 이항정리를 이용하면)

${\sqrt {1-4z}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{n}}{2n-1}}$

이므로,

$C(z)={\frac {1}{2z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{n}}{2n-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n+2}{n+1}}{\frac {z^{n}}{2(2n+1)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{n}}{n+1}}$

이다. 즉,

$C_{n}={\binom {2n}{n}}{\frac {1}{n+1}}$

이다.

성질

점근적 성질

점근적으로 카탈랑 수는

$C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}$

로 근사할 수 있다. 이는 스털링 근사를 사용한 것이다.

홀짝성

카탈랑 수 $C_{n}$가 홀수일 필요 충분 조건은 $n$이 메르센 수 $n=2^{k}-1$인 것이다.^:52

$\forall n\in \mathbb {n} \colon \left(C_{n}\mid 2\iff \exists k\in \mathbb {N} \colon n=2^{k}-1\right)$

즉, 홀수인 카탈랑 수는

$C_{2^{0}-1}=1$

$C_{2^{1}-1}=1$

$C_{2^{2}-1}=5$

$C_{2^{3}-1}=429$

따위의 수이다.

카탈랑 수 가운데 소수인 것은 $C_{2}=2$ 및 $C_{3}=5$ 밖에 없다.^:53

증명

두 번째 증명

좌표평면에서 어떤 동점 P는 오른쪽 또는 위로 1씩 움직인다.(즉, 점 P가 이동하는 점들은 모두 x좌표와 y좌표가 정수이다.) 오른쪽으로 1씩 이동하는 움직임을 오른쪽 단계, 위쪽으로 1씩 이동하는 움직임을 위쪽 단계라고 하자. 이 때, 점 P가 원점 O(0,0)에서 N(n,n)으로 가는 경로의 경우의 수는 오른쪽 단계 n번, 위로 단계 n번을 나열하는 경우의 수와 같으므로 이다. 이 때, 점 P가 y=x(주대각선)을 가로질러 y=x+1 위에 있다고 가정하고 그 점을 Q라고 하자. 이 때, P가 점 Q를 지나는 경로, 즉 y<x를 만족하는 점을 지나는 경로를 잘못된 경로(빨간색 경로)라고 하자.

잘못된 경로에서 점 P가 점 Q를 지난 후의 경로 부분을 y=x+1을 기준으로 대칭이동 시켜보면, 이는 원래의 경로에서 모든 오른쪽 단계와 위쪽 단계를 서로 바꾼 것이다. (빨간색 점선 경로) 한편, 기존 경로에서 점 Q에서 점 N으로 이동하려면 오른쪽 단계의 수가 위쪽 단계의 수보다 한 번 더 많다. 따라서, y=x+1을 기준으로 대칭이동 시킨 경로의 일부분은 위쪽 단계가 오른쪽 단계보다 하나 더 많다.

잘못된 경로에서 점 Q 이후에는 대칭이동된 경로를 이동하는 경로를 생각하자. 그러면, n+1개의 위쪽 단계와 n-1개의 오른쪽 단계로 구성된다. 따라서 종점은 점 N (n-1,n+1)이다. 점 Q 이후 대칭이동된 경로는 기존의 잘못된 경로와 서로 대칭이동 관계이다. 따라서, 점 O에서 점 N 으로 위쪽 단계와 오른쪽 단계로만 이동하는 모든 경우는 기존의 잘못된 경로에서 위쪽 단계와 오른쪽 단계로만 이동하는 모든 경우와 일대일 대응이다.

${\binom {n-1+n+1}{n-1}}$$={\binom {2n}{n-1}}={\binom {2n}{n+1}}$

이 때 카탈란 경로(올바른 경로)의 수는 O에서 N까지 이동하는 최단경로에서 잘못된 경로의 수를 빼서 얻는다.

$C_{n}={\binom {2n}{n}}-{\binom {2n}{n+1}}=(1/n+1){\binom {2n}{n}}$

예

카탈랑 수의 n=0…37까지의 값들은 아래와 같다. (OEIS의 수열 A000108)

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304, 14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262, 11959798385860453492, 45950804324621742364, …

한켈 행렬

$n\times {n}$ 한켈 행렬의 $(i,j)$ 성분이 카탈란수 $C_{i+j-2}$인 행렬의 행렬식은 $n$의 값과 관계없이 항상 1이다. 예를 들어, $n=4$인 경우

$det{\begin{pmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{pmatrix}}=1$

게다가, 각 항의 성분이 이동한다면, 즉 $(i,j)$ 성분이 카탈란수 $C_{i+j-1}$이여도, 행렬식은 $n$의 값과 관계없이 1이다. 예를 들어, $n=4$인 경우

$det{\begin{bmatrix}1&1&2&5\\1&2&5&14\\2&5&14&42\\5&14&42&132\end{bmatrix}}=1$

이 두 가지 조건으로부터 카탈란 수를 고유하게 정의할 수 있다. 카탈란-한켈 행렬의 또 다른 고유한 성질은 $(i,j)$의 성분이 카탈란수 $C_{i+j}$인 $n\times {n}$행렬의 행렬식이 $n+1$이라는 것이다.

$det(2)=2$

$det{\begin{pmatrix}2&5\\5&14\end{pmatrix}}=3$

$det{\begin{pmatrix}2&5&14\\5&14&42\\14&42&132\end{pmatrix}}=4$

$det{\begin{pmatrix}2&5&14&42\\5&14&42&132\\14&42&132&429\\42&132&429&1430\end{pmatrix}}=4$

응용

조합론에서의 개수 세기 문제 가운데 많은 것이 카탈랑 수를 그 해로 갖는다. 이 예제들은 조합 수학자 리처드 P. 스탠리의 저서 《Enumerative Combinatorics》 2권에 나오는 카탈랑 수의 서로 다른 66가지 표현 가운데 몇 개를 뽑은 것이다. 예제와 함께 있는 그림들은 C₃ = 5의 경우의 예이다.

• C_n은 -1과 1 값으로 만들어진 수열 (a₁, a₂, ..., a_2n)에서a₁+a₂+...+a_2n=0 일 때, 각각의 부분합 a₁, a₁+a₂, ..., a₁+a₂+...+a_2n이 모두 0 이상이 되도록 하는 방법의 수이다.
• C_n은 a_i가 1 또는 -1일 때, a₁+a₂+...+a_2n+2=0이고 각각의 부분합 a₁, a₁+a₂, ..., a₁+a₂+...+a_2n+1이 모두 0 보다 크게 되도록 하는 방법의 수이다.
• C_n은 길이가 2n인 모든 뒤크 단어(영어: Dyck word)의 개수이다. 발터 폰 뒤크(독일어: Walther von Dyck)의 이름을 딴 뒤크 단어는 n개의 X와 n개의 Y로 이루어진 문자열 중 처음부터 X와 Y의 개수를 세었을 때 항상 X가 Y보다 많거나 같은 것을 가리킨다. 예를 들면, 아래의 예제는 길이가 6인 모든 뒤크 단어들을 나열한 것이다.

XXXYYY     XYXXYY     XYXYXY     XXYYXY     XXYXYY.

• 뒤크 단어에서 X를 여는 괄호로 보고 Y를 닫는 괄호로 보면, C_n은 n쌍의 괄호로 만들 수 있는 올바른 괄호 구조의 개수이다.

((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())

• C_n은 n + 1개의 항에 괄호를 씌우는 모든 경우의 수이다. 혹은 n + 1개의 항에 이항 연산을 적용하는 순서의 모든 가지수로도 볼 수 있다. 예를 들어 n = 3일 때, 4개의 항에 대해 다섯개의 괄호 표현식이 존재한다.

$((ab)c)d\quad (a(bc))d\quad (ab)(cd)\quad a((bc)d)\quad a(b(cd))$

• 이항 연산의 적용 순서는 이진 트리로도 나타낼 수 있다. 따라서 C_n은 n + 1개의 단말 노드를 갖는 이진 순서 트리의 개수임을 알 수 있다.

• C_n은 동형이 아닌 모든 정 이진 트리 가운데 자식을 가진 노드(internal vertex, 혹은 branch라고 부르는)가 n개인 트리의 개수이다. (정 이진 트리는 한 개의 자식만 가진 노드가 없고, 모든 노드가 두 개의 자식을 가졌거나 혹은 단말 노드인 트리를 가리킨다.)
• C_n은 n+2각형을 n개의 삼각형으로 나누는 방법의 수이다. 아래 그림은 6각형을 4개의 삼각형으로 나누는 모든 방법을 나타낸 것으로 총 $C_{4}$가지이다.

역사

18세기에 몽골의 수학자 명안도(c. 1692-c. 1763)가 최초로 발견하였다.

유럽 수학에서는 레온하르트 오일러가 "(n+2)-각형을 n개의 삼각형으로 나눌 수 있는 경우의 수"를 세는 문제를 제안하면서 처음 나타났다. 벨기에의 수학자 외젠 샤를 카탈랑이 하노이의 탑 문제를 고려하면서 1838년에 재발견하였다.

같이 보기

• 오일러 변환
• 모츠킨 수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Catalan number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, M. (2001). “Binary tree”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.