12정도

조합론에서 12정도(十二正道, 영어: the Twelvefold Way)는 자주 등장하는 열거 문제를 12가지로 분류하는 방법이다. 이를 통하여, 순열 · 조합 · 이항 계수 · 스털링 수 · 벨 수 · 분할수와 같은 개념들을 체계적으로 다룰 수 있다.

정의

두 개의 집합 $N$ 과 $X$ 가 있다고 하고, 그 크기가 각각

|N|=n

|X|=x

라고 하자. 그렇다면, $N$ 을 정의역으로, $X$ 를 공역으로 하는 함수 가운데, 다음과 같은 조건을 부여한 집합을 생각할 수 있다.

아무런 조건이 없을 경우, 함수 집합 $\operatorname {Fun} (N,X)$
단사 함수일 경우, 함수 집합 $\operatorname {Inj} (N,X)$
전사 함수일 경우, 함수 집합 $\operatorname {Surj} (N,X)$

(전단사 함수의 조건을 부여하는 것은 자명하다.)

이 세 개의 집합에, 다음과 같이 4가지의 동치 관계 $\sim$ 를 줄 수 있다. 여기서 $\operatorname {Sym} (S)$ 는 집합 $S$ 위의 순열들의 집합(대칭군)이다.

함수의 일치 $f\sim g\iff f=g$
정의역 $N$ 의 순열을 무시한 동치. 즉, $f\sim g\iff \exists \sigma _{N}\in \operatorname {Sym} (N)\colon f\circ \sigma _{N}=g\}$ 이다.
공역 $X$ 의 순열을 무시한 동치. 즉, $f\sim g\iff \exists \sigma _{X}\in \operatorname {Sym} (X)\colon \sigma _{X}\circ f=g\}$ 이다.
정의역 $N$ 의 순열과 공역 $X$ 의 순열을 무시한 동치. 즉, $f\sim g\iff \exists \sigma _{N}\in \operatorname {Sym} (N),\sigma _{X}\in \operatorname {Sym} (X)\colon \colon \sigma _{X}\circ f\circ \sigma _{N}=g\}$ 이다.

그렇다면, 이 3개의 함수 집합에 4개의 동치 관계를 부여하였을 때 존재하는 동치류의 수에 대하여 물을 수 있다. 즉, 3×4=12개의 열거 문제가 존재한다. 이를 12정도라고 한다.

해석

12정도의 문제들은 보통 다음과 같은 용어로 묘사된다.

12정도의 공식
동치 관계 ╲ 함수 조건	(없음)	단사 함수	전사 함수
함수 일치	$X$ 의 원소들의 길이 $n$ 의 열	$X$ 의 원소들의 크기 $n$ 의 순열	—
정의역의 순열을 무시	$X$ 의 크기 $n$ 의 부분 중복집합	$X$ 의 크기 $n$ 의 부분 집합	—
공역의 순열을 무시	집합 $N$ 의, $x$ 개 이하의 부분 집합들로의 분할	—	집합 $N$ 의, $x$ 개의 부분 집합들로의 분할
정의역과 공역의 순열을 무시	자연수 $n$ 의, $x$ 개 이하의 양의 정수들로의 분할	—	자연수 $n$ 의, $x$ 개의 양의 정수들로의 분할

이들은 $|N|=n$ 개의 공들을 $|X|=x$ 개의 통들에 넣는 문제로 해석할 수 있다. 이 경우, 함수에 대한 조건은 통에 들어가는 공의 수에 대한 제약이다. 즉, 다음과 같은 조건을 부여할 수 있다.

조건 없음: 각 통에 임의의 수의 공이 들어간다.
단사 함수: 각 통에 최대 1개의 공이 들어간다.
전사 함수: 각 통에 1개 이상의 공이 들어간다.

함수 집합 위의 동치 관계는 공이나 통에 부여된 번호(또는 색칠 따위)의 유무에 대응한다.

함수 일치: 각 공은 번호 1~ $n$ 이 매겨져 구별할 수 있으며, 각 통도 마찬가지로 번호 1~ $x$ 가 매겨져 구별할 수 있다.
정의역의 순열을 무시: 통들은 번호가 매겨져 구별할 수 있지만, 공들은 구별할 수 없다.
공역의 순열을 무시: 통들은 구별할 수 없지만, 공들은 번호가 매겨져 구별할 수 있다.
정의역과 공역의 순열을 무시: 공들과 통들 모두 서로 구별할 수 없다.

12정도는 통계역학적으로도 생각할 수 있다. 즉, $n$ 개의 입자가 $x$ 개의 상태에 속한다고 하자. 이 경우, 함수에 대한 조건은 입자들이 따르는 통계이다.

조건 없음: 각 상태에 임의의 수의 입자들이 존재할 수 있다 (보스 통계).
단사 함수: 각 상태에 최대 1개의 입자가 존재할 수 있다 (페르미온 통계).
전사 함수: 각 상태에 적어도 1개 이상의 입자가 존재하여야 한다.

정의역의 순열의 무시 여부는 입자의 구별 가능성에 대응한다.

정의역의 순열을 무시: 입자가 양자 입자여서 서로 구분할 수 없다.
정의역의 순열을 무시하지 않음: 입자가 고전적 입자여서 구분 가능하다.

마찬가지로, 공역의 순열의 무시 여부는 다음과 같이 해석할 수 있다.

공역의 순열을 무시하지 않음: 각 상태들 역시 에너지 및 기타 양자수가 달라 구분 가능하다.
공역의 순열을 무시: 입자의 가능한 상태들이 대칭으로 인해 겹침이 일어나며, 계 전체에 대칭의 작용은 게이지 대칭으로 여겨 구분하지 않는다.

해

정의역의 크기가 $|N|=n$ , 공역의 크기가 $|X|=x$ 라고 하면, 12정도의 해는 다음과 같다.

12정도의 공식
동치 관계 ╲ 함수 조건	(없음)	단사 함수	전사 함수
함수 일치	$x^{n}$	$x^{\underline {n}}$	$\textstyle x!\{{n \atop x}\}$
정의역의 순열을 무시	$\textstyle x^{\overline {n}}/n!={\binom {x+n-1}{n}}$	$\textstyle {\binom {x}{n}}$	$\textstyle {\binom {n-1}{n-x}}$
공역의 순열을 무시	$B_{n}$	$[n\leq x]$	$\textstyle \{{n \atop x}\}$
정의역과 공역의 순열을 무시	$p_{x}(n+x)$	$[n\leq x]$	$p_{x}(n)$

여기서 사용한 기호는 다음과 같다.

계승
$x!=x(x-1)\cdots 2\cdot 1$
하강 포흐하머 기호
$x^{\underline {n}}=x!/(x-n)!$
상승 포흐하머 기호
$x^{\overline {n}}=(x+n-1)!/(x-1)!$
이항 계수
${\binom {x}{n}}={\frac {x!}{n!(x-n)!}}=x^{\underline {n}}/n!$
제2종 스털링 수
$\left\{{x \atop n}\right\}$
아이버슨 괄호. 주어진 조건이 참이면 1, 거짓이면 0이다.
$[P]={\begin{cases}1&P\\0&\lnot P\end{cases}}$
분할수 $p_{x}(n)$ 는 자연수 $n$ 을 $x$ 개의 조각으로 분할하는 경우의 수이다.
벨 수
$B_{n}=\sum _{k=0}^{x}\left\{{n \atop k}\right\}$

여기서 전사 함수를 정의역의 순열을 무시하여 세는 것에서, 만약 $n>0$ 이거나 $x>0$ 일 경우

{\binom {n-1}{n-x}}={\binom {n-1}{x-1}}

이다. 다만, $n=x=0$ 일 경우

{\binom {n-1}{n-x}}={\binom {-1}{0}}=1

{\binom {n-1}{x-1}}={\binom {-1}{-1}}=0

이므로, 전자가 맞는 표현이다.

역사

조합론의 열거 문제들을 12가지로 분류하는 것은 잔카를로 로타가 최초였다. 이후 로타의 제자인 리처드 피터 스탠리(영어: Richard Peter Stanley)가 1986년에 출판된 교재 《열거 조합론》(영어: Enumerative Combinatorics)^[1]에서 "12정도"라는 이름으로 대중화시켰다. "12정도"(영어: Twelvefold Way)라는 이름은 불교의 팔정도(八正道) 및 입자물리학의 팔정도(영어: Eightfold Way)에 빗댄 것이며, 조엘 스펜서(영어: Joel Spencer)가 명명하였다.

참고 문헌

↑ Stanley, Richard P. (1986). 《Enumerative Combinatorics. Volume 1》 (영어) 1판. Wadsworth & Brooks/Cole.

Proctor, Robert A. “Let's Expand Rota's Twelvefold Way For Counting Partitions!” (영어). arXiv:math/0606404. Bibcode:2006math......6404P.

외부 링크

Drake, Dan (2009년 3월 9일). “Stanley’s Twelvefold Way” (PDF) (영어). 2015년 7월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 10월 21일에 확인함.
Cook, John D. (2009년 8월 31일). “Richard Stanley’s Twelvefold Way” (PDF) (영어).
Rasmussen, Jan Marthedal (2008년 12월 26일). “Twelve Ways of Counting”. 《janmr blog》 (영어). 2016년 3월 4일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 10월 21일에 확인함.

[1] Stanley, Richard P. (1986). 《Enumerative Combinatorics. Volume 1》 (영어) 1판. Wadsworth & Brooks/Cole.

[1]