Affiene transformatie

Een affiene transformatie is een bijectieve transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig.

De affiene groep is de groep van affiene transformaties. Ze zijn van de vorm $T(x)=Ax+b$, met $A$ inverteerbaar.

Als $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ de coördinaten zijn van een punt $x$ in de $n$-dimensionale affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld $T(x)$ onder een affiene transformatie $T$ bepaald door:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$,

waarin $A=(a_{ij})$ de matrix is van een lineaire afbeelding van de ruimte en $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ de coördinaten zijn van een translatievector $b$.

Als de matrix $A$ de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als $A$ een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een vermenigvuldiging. De translaties en vermenigvuldigingen vormen een groep, namelijk die van de dilataties.