نسبی استحالہ

اصطلاح	term
نسبی استحالہ	Affine transformation

نَسبی استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں، جو لکیری استحالہ کے بعد ترجمہ استحالہ کے استعمال سے وقوع ہو۔ لکیری فضا $\mathbb {R} ^{n}$ کے سمتیہ X کے لیے اس کی ہیئت یوں ہو گی

$\ T(X)=AX+b$

جہاں A ایک $m\times n$ میٹرکس ہے اور b ایک $m\times 1$ میٹرکس۔ میٹرکس A سے ضرب لکیری حصہ ہے اور b جمع سے ترجمہ (translate)۔

مثال

فائل:Transformation affine.png

تصویر ا

سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں نسبی استحالہ

$\ T(X)=AX+b$

یہاں سمتیہ X کو میٹرکس A سے ضرب دینے سے ایک نیا سمتیہ AX بنتا ہے، جس میں سمتیہ b جمع کیا جاتا ہے۔ یعنی اگر X کو فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں ایک نکتہ سمجھا جائے (تصویر 1)، تو میٹرکس ضرب اس کو گھماتی ہے اور اس کا ابتدا سے فاصلہ تبدیل کرتی ہے۔ جمع b، اسے سمتیہ b کی سمت مٰیں ہٹا دیتی ہے اور اس ہٹاؤ کی مقدار سمتیہ b کی مطلق قیمت کے برابر ہے۔ سمتیہ b بھی $\mathbb {R} ^{2}$ میں ہے۔

فائل:Affine transform.png

تصویر 2

اس مثال سے نسبی استحالہ کی افادیت واضح نہیں ہوتی۔ اس لیے تصویر 2 میں دکھایا گیا ہے کہ نیلے مربع کے نمام نکات پر نسبی استحالہ کے استعمال سے سبز کثیرالضلاع حاصل ہوتا ہے۔ نیلے مربع کے نکات پر میٹرکس ضرب (لکیری استحالہ) سے سرخ کثیرالاضلاع حاصل ہوتا ہے، جسے ترجمہ کر کے سبز کثیرالاضلاع مل جاتا ہے۔ یہاں یہ ذکر کر دیں کی تصویر 2 میں سرخ کثیرالاضلاع کا کچھ حصہ نیلے مربع کے نیچے چلے جانے کی وجہ سے نظر نہیں آ رہا۔ اس مثال سے واضح ہوا کہ کس طرح کے مسائل کو ترجمہ کے ذریعہ لکیری میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

چونکہ کسی بھی لکیری فضا کے سمتیہ کی منفرد صورت $\mathbb {R} ^{n}$ میں ہوتی ہے، اس لیے یہاں کی ساری بحث کسی بھی لکیری فضا پر لاگو آتی ہے۔

نسبی استحالہ

$\ Y=T(X)=AX+b$

کو اُلٹانا (یعنی دیے گئے سمتیہ Y سے سمتیہ X حاصل کرنا) اس صورت ممکن ہے (اصلاً اگر بشرط اگر) جب میٹرکس A مقلوب میٹرکس ہو۔

مزید دیکھیے

• لکیری استحالہ
• استحالہ

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات