Funkcje specjalne

Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

Niektóre funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością.

Funkcje związane z	Symbol	Nazwa	Komentarz
funkcją Γ	$\Gamma (z)$	funkcja gamma Eulera	uogólnienie silni
	$\psi (z)$	logarytmiczna pochodna funkcji gamma	zwana również funkcją digamma
	$\psi ^{(n)}(z)$	funkcja poligamma
	$\mathrm {B} (x,y)$	funkcja beta Eulera	powiązana ze współczynnikami dwumianowymi
funkcją błędu i całkami wykładniczymi	$\mathrm {erf} (x)$	funkcja błędu Gaussa	ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa
	$\mathrm {erfc} (x)$	uzupełniająca funkcja błędu
	$\omega (x)$	zespolona funkcja błędu
	$S(z),C(z)$	całki Fresnela	stosowane w optyce
	$\mathrm {ei} \,x$	funkcja całkowo-wykładnicza
	$\mathrm {li} \,x$	Logarytm całkowy
	$\mathrm {si} \,x,\mathrm {ci} \,x,\mathrm {shi} \,x$	sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny
z funkcją ζ	$\zeta (z)$	funkcja dzeta Riemanna	ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna
	$\eta (z)$	funkcja eta Dirichleta
	$\mathrm {Li} _{\nu }(z)$	polilogarytmy
całkami i funkcjami eliptycznymi	$F(k,\psi ),E(k,\psi )$	całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia	pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy
	$\mathrm {K} (k),\mathrm {E} (k)$	całki eliptyczne zupełne I i II stopnia	otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2
	$\mathrm {sn} (u,k),\mathrm {cn} (u,k)$	funkcje eliptyczne Jacobiego	odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy
	$F(a,b;c;z)$	funkcja hipergeometryczna	za jej pomocą można łatwo wyrazić m.in. całki eliptyczne
wielomianami ortogonalnymi	$P_{n}(x)$	wielomiany Legendre’a	rozwiązania równania Legendre’a
	$P_{n}^{m}(x)$	stowarzyszone wielomiany Legendre’a
	$L_{n}(x)$	wielomiany Laguerre’a	występują m.in. w mechanice kwantowej
	$L_{n}^{\alpha }(x)$	stowarzyszone wielomiany Laguerre’a	dla α = 0 otrzymuje się „normalne” wielomiany Laguerre’a
	$H_{n}(x)$	wielomiany Hermite’a
	$T_{n}(x),U_{n}(x)$	wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju
	$G_{n}^{m}(x)$	wielomiany Gegenbauera
	$J_{n}^{(a,b)}(x)$	wielomiany Jacobiego	można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre’a oraz Czebyszewa I i II rodzaju
	$Y_{lm}(\theta ,\phi )$	harmoniki sferyczne	zastosowanie w astronomii, mechanice i elektrodynamice
funkcjami Bessela	$J_{\nu }(z),Y_{\nu }(z)$	funkcje Bessela	zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektrodynamice
	$I_{\nu }(x),K_{\nu }(x)$	zmodyfikowane funkcje Bessela
	$H_{\nu }^{(1)}(x),H_{\nu }^{(2)}(x)$	funkcje Hankela
funkcjami odwrotnymi	$\mathrm {gd} \,x$	funkcja Gudermanna	amplituda hiperboliczna, gudermanian
	$W(x)$	funkcja W Lamberta	funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex

Inne funkcje specjalne

• funkcje Mathieu – funkcje eliptycznego cylindra
• funkcje Webera-Hermite'a – funkcje parabolicznego cylindra
• funkcje Heinego
• funkcje Wangereina
• funkcje Blasiusa
• funkcje Falknera-Skanna

Bibliografia

• G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.
• M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, tu dostępne online

Linki zewnętrzne

• Special functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].