Całki eliptyczne

Całki eliptyczne – to de facto funkcje o wartościach zdefiniowanych za pomocą całek postaci^[1]^[2]

\int R(t,{\sqrt {at^{3}+bt^{2}+ct+d}})dt,\quad

lub

\int R(t,{\sqrt {at^{4}+bt^{3}+ct^{2}+dt+e}})dt

gdzie $R$ - funkcja wymierna zależna od $t$ i ${\sqrt {W(t)}}$ , gdzie $W(t)$ jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4 ( $a,b,c,d,e$ - liczby rzeczywiste).

Każdą całkę eliptyczną można sprowadzić do sumy całek: (a) wyrażonych poprzez funkcje elementarne (zawierających całki po funkcjach wymiernych) (b) całek nie wyrażających się przez funkcje elementarne, mających trzy możliwe postacie (patrz niżej), nazywanych całkami 1., 2. i 3. rodzaju. Twierdzenia tego dowiódł Liouville.

Gdy $W(t)$ ma pierwiastki jednokrotne, to całki powyższe nie dają się sprowadzić do funkcji elementarnych. Całki, które da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych, nazywa się pseudoeliptycznymi. Jest tak, gdy wielomian $W(t)$ ma pierwiastki dwu- i więcej krotne oraz $R$ nie zawiera nieparzystych potęg ${\sqrt {W(t)}}$ .

Wyróżnia się całki eliptyczne niezupełne i zupełne (te ostatnie będące szczególnym przypadkiem całek niezupełnych). Szczególnie ważne i często używane są całki 1. i 2. rodzaju.

Całki eliptyczne odkryli i badali Giulio Fagnano i Leonhard Euler (ok. 1750) zajmując się m.in. problemem wyznaczenia długości łuku elipsy. Stąd pochodzi nazwa tych funkcji.

Całki eliptyczne niezupełne

Całki eliptyczne niezupełne to funkcje zdefiniowane poprzez całki oznaczone, gdzie całkowanie jest w granicach od 0 do $\psi ,$ przy czym $\psi$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, $\psi \in (-\infty ,+\infty ).$ Wyróżnia się dwie równoważne postacie tych całek – Jakobiego i Legendre’a.

Całki eliptyczne niezupełne w postaci Jacobiego

Niech $\psi \in (-\infty ,+\infty )$ . Definiuje się całki:

$F(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\sin \psi }{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}\,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju,
$E(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\sin \psi }{\frac {\left(1-k^{2}t^{2}\right)dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}\,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna niezupełna 2. rodzaju,
$\Pi (n;k,\psi )=\int _{0}^{\sin \psi }{\frac {dt}{\left(1-nt^{2}\right){\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}\,,\qquad {}$ $(k^{2}<1,n$ – dowolna liczba rzeczywista $)$ – całka eliptyczna niezupełna 3. rodzaju.

Całki eliptyczne niezupełne w postaci Legendre’a

Legendre zastosował podstawienie $t=\sin \phi$ w całkach postaci Jacobiego, dzięki czemu całki te przyjęły prostszą postać:

$F(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\frac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}\,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju,
$E(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}\;d\phi \,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna niezupełna 2. rodzaju,
$\Pi (n;k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\frac {d\phi }{\left(1-n\sin ^{2}\phi \right){\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}}\,,\qquad$ $(k^{2}<1,n$ – dowolna liczba rzeczywista $)$ – całka eliptyczna niezupełna 3. rodzaju.

Parametr $k$ występujący w funkcjach $F,E,\Pi$ nazywany jest modułem. Parametr $n$ całki $\Pi (n;k,\psi )$ nazywany jest charakterystyką – może przyjmować dowolne wartości niezależnie od innych parametrów.

Własności całek eliptycznych niezupełnych 1. rodzaju

Wartości całek eliptycznych niezupełnych $F(k,\psi ),$ $E(k,\psi )$ oraz $\Pi (n;k,\psi )$ można obliczyć numerycznie. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).

Opierając się na definicji całek eliptycznych 1. rodzaju łatwo wykazać kolejno inne własności, słuszne dla dowolnej wartości zmiennej $\psi$ oraz dowolnej wartości modułu $k$ ^[3]:

Tw. 1 Całki eliptyczne 1. rodzaju $F(k,\psi )$ są funkcjami rosnącymi w całej dziedzinie $\psi \in (-\infty ,+\infty )$ dla dowolnej wartości modułu k.

Tw. 2 $F(k,\psi +\pi )=F(k,\pi )+F(k,\psi )$

Tw. 3 $F(k,-\psi )=-F(k,\psi )$

Tw. 4 $F(k,\pi )=2F(k,{\tfrac {\pi }{2}})=2K(k)$

Tw. 5 $F(k,\psi +n\pi )=F(k,\psi )+nF(k,\pi )=F(k,\psi )+n\cdot 2K(k)$

gdzie: $n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ , $K(k)=F(k,{\tfrac {\pi }{2}})$ - cała eliptyczna zupełna 1. rodzaju.

Komentarze:

1. Własność wyrażoną w Tw. 1 ilustrują pokazane tu wykresy całek $F(k,\psi )$ dla $\psi \in <-3\pi ,3\pi >$ i różnych wartości $k.$

2. Własności wyrażone w Tw. 2-5 można odczytać z wykresów funkcji podcałkowych $f(k,\phi )={\tfrac {1}{\sqrt {(1-k^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}$ całek eliptycznych 1. rodzaju:

(a) Dla dowolnej wartości modułu $k$ funkcje podcałkowe są okresowe z okresem $T=\pi$ ; ponieważ wartość całki jest równa wielkości pola powierzchni pod wykresem funkcji podcałkowej (por. interpretacja geometryczna całki Riemanna), to każde zwiększenie argumentu całki o $T=\pi$ powoduje wzrost wartości całki o identyczną wartość; stąd wynika Tw. 2.

(b) Tw. 3 wynika wprost z definicji całki: $F(k,-\psi )=\int \limits _{0}^{-\psi }{\tfrac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}$ . Podstawiając $u=-\psi$ otrzymamy $du=-d\psi$ oraz zmienią się granice całowania, tak że: $F(k,-\psi )=\int \limits _{0}^{-\psi }{\tfrac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}=-\int \limits _{0}^{\psi }{\tfrac {du}{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}u\right)}}}=-F(k,\psi )$

(c) Wartość całki oznaczonej $F(k,\pi )$ jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji podcałkowej $f(k,\phi )$ w zakresie od 0 do $\pi$ ; z symetrii wykresu w tym zakresie widać, że $F(k,\pi )=2F(k,{\tfrac {\pi }{2}})$ , gdzie $F(k,{\tfrac {\pi }{2}})\equiv K(k)$ jest całką eliptyczną zupełną 1. rzędu (por. definicję niżej) - jest to treścią Tw. 4.

(d) Tw. 5 wynika z wielokrotnego zastosowania Tw. 2 i 3.

Uwaga:

Wartość całki $F(k,\psi )$ jest ujemna dla $\psi <0$ , pomimo że funkcja podcałkowa ma wartości dodatnie. Fakt ten wynika stąd, że górna granica całkowania jest w tym wypadku mniejsza niż dolna. Ma to zastosowanie np. w fizyce do wyznaczenie ruchu wahadła, gdzie kątom odchylenia wahadła od pionu w lewo nadaje się wartości z przeciwnymi znakami niż dla odchyleń w prawo (np. $\psi <0$ dla odchyleń w lewo, $\psi >0$ dla odchyleń w prawo).

Całki eliptyczne zupełne

Całki eliptyczne zupełne są szczególnym przypadkiem całek niezupełnych $F(k,\psi ),E(k,\psi )$ oraz $\Pi (n;k,\psi )$ – oblicza się je podstawiając $\psi =\pi /2.$ Niżej podano je w postaci Legendre’a.

$K(k)=F\left(k,{\frac {\pi }{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}\,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna zupełna 1. rodzaju,
$E(k)=E\left(k,{\frac {\pi }{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}\;d\phi \,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna zupełna 2. rodzaju,
$\Pi (n;k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\phi }{\left(1-n\sin ^{2}\phi \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,,\qquad (k^{2}<1)$ – całka eliptyczna zupełna 3. rodzaju

Czasami całki 3. rodzaju definiuje się z odwrotnym znakiem stojącym przed parametrem $n{:}$

$\Pi (n;k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\phi }{\left(1+n\sin ^{2}\phi \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}},\quad (k^{2}<1)\quad {}$

Wartości całek eliptycznych zupełnych. Monotoniczność

Wartości całek eliptycznych zupełnych $K(k),$ $E(k)$ oraz $\Pi (n,k)$ są stabelaryzowane (por. Tabela całek niżej); można je też znaleźć w niektórych tablicach matematycznych. Dostępne są też kalkulatory online (por. Linki zewnętrzne – na końcu artykułu).

Na przedstawionych tu wykresach wykreślono wartości całek eliptycznych dla $k\in <0,1).$ Z wykresów tych widać, że całka zupełna 1. rodzaju rośnie ze wzrostem $k{:}$ dla $k=0$ ma wartość około $1{.}6,$ dla $k=1$ rozbiega się do nieskończoności. Całka eliptyczna 2. rodzaju maleje od wartości około $1{.}6$ dla $k=0$ do wartości $1$ dla $k=0.$ Monotoniczność tych całek wynika wprost z zależności funkcji podcałkowych od parametru $k{:}$ dla całki $K(k)$ funkcja podcałkowa rośnie ze wzrostem $k,$ a dla całki $E(k)$ funkcja podcałkowa maleje ze wzrostem $k.$

Całka zupełna 3. rodzaju a) dla $k\neq 1$ rośnie ze wzrostem $k$ dla $n<1$ i maleje ze wzrostem $k$ dla $n>1$ b) dla $k=1$ rozbiega się do nieskończoności dla wszystkich wartości $n.$

Uwaga:

Wykresy całek wykreślone w całym zakresie wartości $k\in (-1,1)$ są symetryczne względem osi $OY,$ co wynika z definicji całek: wszystkie całki zależą od $k^{2},$ więc mają tę samą wartość dla $k$ i $-k.$ Wynika stąd, że jeśli dla $k\in <0,1)$ funkcja jest rosnąca, to dla $k\in (-1,0>$ jest malejąca i na odwrót.

Zastosowania całek eliptycznych

Całka eliptyczna 1. rodzaju

Obliczanie okresu drgań wahadła

Okres drgań wahadła matematycznego jest proporcjonalny do całki eliptycznej zupełnej 1. rodzaju, tj. $T\sim K(k),$ gdzie $k=\sin({\tfrac {\theta _{0}}{2}})$ zależy od amplitudy drgań wahadła $\theta _{0};$ dokładnie mamy^[4]:

T(\theta _{0})=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,\cdot K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),

gdzie $\ell$ – długość wahadła, $\theta _{0},$ $g$ – przyspieszenie ziemskie.

Z wartości całki $K(k)$ wynika (por. Tabela całek niżej), że dla małych amplitud drgań $K(\sin \theta _{0}/2)\approx K(0)=1{,}5707963=\pi /2,$ co daje wynik $T_{0}=2\pi {\sqrt {\ell /g}}$ – okres drgań nie zależy od amplitudy (izochronizm odkryty przez Galileusza). Jednak ze wzrostem amplitudy okres drgań rośnie. Np. dla $\theta _{0}=90^{\circ }$ mamy (por. Tabela całek niżej) $K(\sin 45^{\circ })\approx K(0{,}707)\approx 1{,}854$ oraz $T(90^{\circ })=7{,}416{\sqrt {\ell /g}}=1,18T_{0}.$ Zaś dla $\theta _{0}=180^{\circ }$ (wahadło wznosi się do pionu) mamy $K(\sin 90^{\circ })=K(1)=+\infty ;$ stąd $T=+\infty$ – wahadło wznosi się od najniższego położenia do pionu nieskończenie długo (tzw. ruch pełzający)^[5].

Całka eliptyczna 2. rodzaju

Obwód elipsy

Obwód elipsy o półosiach $a,b$ zadany jest przez całkę eliptyczną zupełną 2. rodzaju wzorem^[6]

\ell =4a\,E{\big (}e{\big )},

gdzie $e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}$ – mimośród elipsy.

Np. dla $a=2$ oraz $b=1$ mimośród wynosi $e=0{,}866025.$ Aby skorzystać z Tabeli całek (por. niżej) obliczamy kąt $\alpha =\arcsin(k),$ przy czym ${\text{k}}\equiv e,$ co daje $\alpha =\arcsin(0,866025)\approx 60^{\circ };$ z tabeli odczytujemy $E(e)=1{,}2110560,$ co daje obwód elipsy równy $l=9{,}688448.$

Łuk elipsy

(a) Łuk elipsy o półosiach $a,b,$ ograniczony kątami $\alpha _{1},\alpha _{2},$ mierzonymi od osi $OX$ do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez różnicę całek eliptycznych niezupełnych 2. rodzaju wzorem

\ell (\alpha _{1},\alpha _{2})=a\,E(e,\psi _{2})-a\,E(e,\psi _{1}),

gdzie: $\psi _{1}=\operatorname {arctg} \left({\frac {a}{b}}\operatorname {tg} (\alpha _{1})\right),$ $\psi _{2}=\operatorname {arctg} \left({\frac {a}{b}}\operatorname {tg} (\alpha _{2})\right),$ $e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}$ – mimośród elipsy.

(Wartości parametrów $\psi _{1},\psi _{2},$ którym odpowiadają katy $\phi _{1},\phi _{2}$ ograniczające łuk elipsy, wynikają z równań parametrycznych elipsy.)

(b) Łuk elipsy o półosiach $a,b,$ ograniczony kątami $\alpha _{1}=0,\alpha _{2},$ mierzonymi od osi $OX$ do punktów początkowego i końcowego łuku elipsy, jest zadany przez całkę eliptyczną niezupełną 2. rodzaju wzorem

\ell (\alpha _{1}=0,\alpha _{2})=a\,E(e,\psi _{2}),

gdzie $\psi _{2}=\operatorname {arctg} \left({\frac {a}{b}}\operatorname {tg} (\alpha _{2})\right).$

Całka eliptyczna 3. rodzaju

Długość łuku południka

Długość łuku południka od równika do szerokości geograficznej $\psi$ jest określona wzorem:

d(\psi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};e^{2},\psi )

gdzie $a$ jest główną osią elipsy, przechodzącej przez bieguny Ziemi, utworzonej z jej południków; $e$ jest mimośrodem tej elipsy.

Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela

Całki tego rodzaju, w których za zmienną $y$ podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej $x,$ taką że

P(x,y)=0,

gdzie $P(x,y)$ jest wielomianem względem zmiennych $x$ i $y,$ nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje eliptyczne, czyli funkcje odwrotne do całek eliptycznych

Funkcje odwrotne do różnego typu całek eliptycznych noszą nazwę funkcji eliptycznych. W szczególności definiuje się funkcje odwrotne do całek eliptycznych niezupełnych $F(k,\psi ),$ $E(k,\psi ),$ $\Pi (n;k,\psi ).$ Przy czym, aby istniała funkcja odwrotna konieczne jest ograniczenie danej funkcji do przedziału, w którym jest ona monotoniczna. (Jest to analogicznie jak przy definiowaniu funkcji cyklometrycznych, tj. odwrotnych do funkcji trygonometrycznych.)

Funkcja amplitudy – funkcja odwrotna do całki $F(k,\psi )$

Całka eliptyczna niezupełna 1. rodzaju $u(k)=F(k,\psi )$ jest funkcją rosnącą w całym zakresie liczb rzeczywistych, $\psi \in (-\infty ,+\infty )$ , dla modułu $k\in <-1,1>$ . Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Z monotoniczności funkcji $u(k)=F(k,\psi )$ wynika, że istnieje funkcja do niej odwrotna, tzw. funkcja amplitudy (funkcja amplitudy Jakobiego) $\psi (k)=am(k,u),$ określona w całym zakresie $u\in (-\infty ,+\infty )$ dla modułu $k$ w przedziale $-1\leqslant k\leqslant 1.$

Uwaga 1: O rodzinie całek eliptycznych i funkcji odwrotnych

Funkcja $u=F(k,\psi )$ jest funkcją zmiennej $\psi ,$ zaś $k$ jest stałą liczbą – oznacza to, że de facto mamy całą rodzinę funkcji i funkcji do nich odwrotnych dla różnych wartości $k,$ $-1\leqslant k\leqslant 1.$

Uwaga 2: O symetrii wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych

Z zamieszczonych powyżej wykresów funkcji amplitudy o różnych wartościach k widać, że wykresy te są symetryczne względem prostej y = x do wykresów całek eliptycznych 1. rodzaju o tych samych wartościach k - tak jak jest to w ogólności dla wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych.

Całka eliptyczna odwrotna do funkcji Weierstrassa

Przykładem innej całki eliptycznej jest funkcja zmiennej zespolonej $z$ o parametrach $g_{2},g_{3}$ wyrażona przez całkę

z(w)=\int \limits _{w}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}}

Funkcją odwrotną do niej jest funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp (z,g_{2},g_{3}).$

Rozwinięcia całek eliptycznych w szereg

(1) Całka eliptyczna zupełna 1. rodzaju może być przedstawiona za pomocą szeregu^[7]:

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\big (}P_{2n}(0){\big )}^{2}k^{2n}

gdzie $P_{2n}$ wielomiany Legendre’a. W postaci rozwiniętej mamy:

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right)

gdzie $n!!$ oznacza silnię podwójną.

(2) Całka eliptyczna drugiego rodzaju może być przedstawiona za pomocą szeregu^[8]:

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},

tj.

E(k)={\frac {\pi }{2}}{\Big (}1-{\Big (}{\tfrac {1}{2}}{\Big )}^{2}{\tfrac {k^{2}}{1}}-\left({\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\tfrac {k^{4}}{3}}-\ldots -\left({\tfrac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\tfrac {k^{2n}}{2n-1}}-\ldots {\Big )}

Obliczenia numeryczne całek eliptycznych

Poniżej podano kod programu w C++ liczącego całki eliptyczne zupełne 2. rodzaju $E(k)$ dla $\alpha =0^{\circ },1^{\circ },\dots ,90^{\circ },$ gdzie $k=\sin \alpha .$ Zastosowano tu prostą metodę całkowania numerycznego – metodę trapezów. Pomimo prostoty uzyskuje się dowolnie duże dokładności, przy odpowiednio dobranej liczbie podziałów przedziału całkowania. Szybciej zbieżne metody numeryczne wykorzystują np. rozwinięcia funkcji podcałkowej w szeregi (por. powyżej).

/* Liczenie całek eliptycznych 2. rodzaju E(k) */
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double t, double k)
{
return sqrt(1-k*k*sin(t)*sin(t));
}

int main()
{
   double t, h, trapez, pole, t1,t2, alfa, alfa_r, k, a, b;
   int m;

   for(int j=0;j<=90;j++)
   {
       alfa=j; //kąt w stopniach
       alfa_r = M_PI/180*alfa;
       k=sin(alfa_r);
       t1=0;        //wartość początkowa przedziału całkowania
       t2=M_PI/2;   //wartość końcowa przedziału całkowania
       m = 10000000;//Liczba podziałów przedziału całkowania

       pole = 0;
       h = (t2-t1)/m;

       t=t1;
       a=f(t,k);

       for(int i=1; i<=m; i++)
       {
           b=f(t+h,k);
           trapez = (a+b)*h/2;
           pole = pole + trapez;
           t=t+h;
           a=b;
       }
       cout << setprecision(7) << fixed;
       cout << " k="<<k<<"  alfa="<<alfa<<"'"<<"  całka E(k)=" << pole << endl;
    }
   return 0;
}

Obliczenia numeryczne całek eliptycznych niezupełnych

(1) W celu obliczenia całki niezupełnej 2. rodzaju $E(k,\psi )$ wystarczy w powyższym kodzie zmienić parametr t2 z wartości M_PI/2 (oznaczającego liczbę π/2) na odpowiednią wartość parametru $\psi$ (linia 24 kodu).

(2) W celu obliczenia całki niezupełnej 1. rodzaju $F(k,\psi )$ wystarczy zmienić wartość zwracaną przez funkcję na jej odwrotność (linia 10 kodu) oraz nadać wartość parametru $\psi$ (linia 24 kodu).

(3) W celu obliczenia całki niezupełnej 3. rodzaju $\Pi (k,n,\psi )$ wystarczy zmienić wartość zwracaną przez funkcję zgodnie z definicją funkcji podcałkowej tej całki (linia 10 kodu), podstawiając dodatkowo wartość parametru $n$ oraz podstawić wartość parametru $\psi$ (linia 24 kodu).

Tabela wartości całek eliptycznych zupełnych K(k) i E(k)

Uwaga: Tutaj ${\text{k}}=\sin(\alpha )$

α°	K(0)	E(0)
0°	1,5707963	1,5707963

Tabela wartości całek eliptycznych
α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)
1°	1,5709160	1,5706767	11°	1,5853942	1,5563998	21°	1,6252337	1,5190785	31°	1,6941144	1,4607735	41°	1,7992215	1,3848866
2°	1,5712750	1,5703179	12°	1,5881972	1,5536809	22°	1,6307291	1,5141469	32°	1,7028359	1,4539078	42°	1,8121599	1,3765043
3°	1,5718736	1,5697202	13°	1,5912544	1,5507320	23°	1,6365174	1,5090071	33°	1,7119247	1,4468692	43°	1,8256019	1,3679992
4°	1,5727124	1,5688837	14°	1,5945683	1,5475546	24°	1,6426041	1,5036621	34°	1,7213908	1,4396621	44°	1,8395667	1,3593770
5°	1,5737921	1,5678091	15°	1,5981420	1,5441505	25°	1,6489952	1,4981149	35°	1,7312452	1,4322910	45°	1,8540747	1,3506439
6°	1,5751136	1,5664968	16°	1,6019785	1,5405216	26°	1,6556969	1,4923687	36°	1,7414992	1,4247603	46°	1,8691475	1,3418061
7°	1,5766780	1,5649476	17°	1,6060813	1,5366698	27°	1,6627160	1,4864268	37°	1,7521652	1,4170749	47°	1,8848087	1,3328700
8°	1,5784866	1,5631622	18°	1,6104542	1,5325973	28°	1,6700594	1,4802927	38°	1,7632562	1,4092397	48°	1,9010830	1,3238422
9°	1,5805409	1,5611417	19°	1,6151009	1,5283063	29°	1,6777349	1,4739699	39°	1,7747859	1,4012598	49°	1,9179975	1,3147296
10°	1,5828428	1,5588872	20°	1,6200259	1,5237992	30°	1,6857504	1,4674622	40°	1,7867691	1,3931402	50°	1,9355811	1,3055391

cd. Tabela wartości całek eliptycznych
α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)	α°	K(k)	E(k)
51°	1,9538648	1,2962780	61°	2,1842132	1,2015382	71°	2,5507314	1,1096434	81°	3,2553029	1,0337895
52°	1,9728823	1,2869537	62°	2,2131947	1,1920457	72°	2,5998197	1,1010622	82°	3,3698680	1,0278436
53°	1,9926698	1,2775739	63°	2,2435493	1,1825891	73°	2,6521380	1,0926503	83°	3,5004225	1,0223126
54°	2,0132666	1,2681465	64°	2,2753764	1,1731794	74°	2,7080676	1,0844252	84°	3,6518560	1,0172369
55°	2,0347153	1,2586796	65°	2,3087868	1,1638280	75°	2,7680631	1,0764051	85°	3,8317420	1,0126635
56°	2,0570623	1,2491816	66°	2,3439047	1,1545467	76°	2,8326726	1,0686095	86°	4,0527582	1,0086480
57°	2,0803581	1,2396612	67°	2,3808702	1,1453479	77°	2,9025649	1,0610593	87°	4,3386540	1,0052586
58°	2,1046577	1,2301272	68°	2,4198417	1,1362444	78°	2,9785690	1,0537769	88°	4,7427173	1,0025841
59°	2,1300214	1,2205890	69°	2,4609995	1,1272496	79°	3,0617286	1,0467865	89°	5,4349098	1,0007516
60°	2,1565156	1,2110560	70°	2,5045501	1,1183777	80°	3,1533853	1,0401144	90°	$+\infty$	1,0000000

Zobacz też

Inne:

Przypisy

↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Elliptic Integral [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2024-09-10] (ang.).
↑ Bronsztejn ↓, s. 409.
↑ Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 95.
↑ Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 97.
↑ Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 98.
↑ I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1968, s. 269.
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complete Elliptic Integral of the First Kind [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2024-09-10] (ang.).
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complete Elliptic Integral of the Second Kind [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2024-09-10] (ang.).

Bibliografia

I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 1959, s. 92–93 (Tablice całek), s. 409–410 definicje całek
G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str. 287-296.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Elliptic Integral, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Kalkulator całek eliptycznych 1go rodzaju Dr. Minas E. Lemonis, PhD [dostęp 2024-09-05].

[1] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Elliptic Integral [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2024-09-10] (ang.).

[CITEREFBronsztejn409-2] Bronsztejn ↓, s. 409.

[CITEREFKrólikowskiRubinowicz201295-3] Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 95.

[CITEREFKrólikowskiRubinowicz201297-4] Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 97.

[CITEREFKrólikowskiRubinowicz201298-5] Królikowski i Rubinowicz 2012 ↓, s. 98.

[6] I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1968, s. 269.

[7] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complete Elliptic Integral of the First Kind [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2024-09-10] (ang.).

[8] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complete Elliptic Integral of the Second Kind [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2024-09-10] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]