Przejdź do zawartości

Hamiltonian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych[1], opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych[2]

gdzie:

współrzędne uogólnione,
– pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej),
– liczba stopni swobody,
– czas.

Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.

Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.

W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.

Metody otrzymywania funkcji Hamiltona

[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona otrzymuje się,

przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu

[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.

Punkt materialny

[edytuj | edytuj kod]

(1) Jeżeli cząstka o masie porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

Ponieważ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

Oscylator harmoniczny

[edytuj | edytuj kod]

Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ma postać

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a

[edytuj | edytuj kod]

Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a

gdzie:

– współrzędna uogólniona,
– prędkość uogólniona,
– czas.

Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a

przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.

Przykłady pędów uogólnionych

[edytuj | edytuj kod]
  • W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami.
  • We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki.
  • W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie mieć prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.


Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Funkcja Hamiltona, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22].
  2. „Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa, PWN 1973, T. 1, s. 737.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]