Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych

Twierdzenie Abela o szeregach potęgowych – twierdzenie analizy zespolonej wiążące zbieżność szeregu potęgowego w punkcie brzegu koła zbieżności ze zbieżnością funkcji reprezentowanej przez szereg wewnątrz koła dla argumentów zbieżnych do tego punktu po pewnej drodze udowodnione przez norweskiego matematyka Nielsa Henrika Abela.

Sformułowanie

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem zespolonym: $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }.$ Jeżeli szereg $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny oraz funkcja zespolona określona w kole jednostkowym $f:\{z:|z|<1\}\to \mathbb {C}$ jest dana wzorem $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ to wówczas $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{z\to 1}f(z),$ gdy $z$ dąży do 1 po drodze zawartej pomiędzy dwiema cięciwami koła zbieżności wychodzącymi z punktu 1.

Uwagi: Przykładem takiej drogi może być odcinek otwarty $(0,\,1).$ Przypadek dowolnego skończonego promienia zbieżności i punktu z jego brzegu może być sprowadzony do promienia 1 i punktu 1.

Dowód

Oznaczając przez $s_{n}$ sumy częściowe szeregu $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},$ a przez $s$ jego sumę i korzystając z przekształcenia Abela można zapisać:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=s_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(s_{n}-s_{n-1})z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}(z^{n}-z^{n+1})=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}z^{n}

Zgodnie ze wzorem na granicę szeregu geometrycznego: $s=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }sz^{n},$ a zatem:

f(z)-s=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }(s_{n}-s)z^{n}

Ze zbieżności szeregu wynika, że można dobrać takie $N,$ by dla każdego $n>N$ wartość wyrażenia $s_{n}-s$ była dostatecznie mała (mniejsza od ustalonego $\varepsilon >0$ ).

Suma pierwszych $N$ wyrazów szeregu $\sum _{n=0}^{N}(s_{n}-s)z^{n}$ jest dla dowolnego $z$ z koła zbieżności ograniczona przez stałą $\sum _{n=0}^{N}|s_{n}-s|.$ Ponieważ dla $z$ dostatecznie bliskich 1 wartość $|1-z|$ jest dowolnie mała, wyrażenie $(1-z)\sum _{n=0}^{N}(s_{n}-s)z^{n}$ dąży do zera.

Korzystamy z potęgi punktu 1 względem okręgu o środku 0 przechodzącego przez $z$ dla prostych przechodzących przez $z$ (wtedy jeden z odcinków ma długość $|1-z|$ ) i 0 (wtedy jeden z odcinków ma długość $1-|z|$ ).

Wnioskujemy, że jeśli $z$ leży pomiędzy pewnymi cięciwami (można zakładać, że cięciwy są symetryczne względem $(0,1),$ bo zmiana cięciwy pod mniejszym kątem na symetryczną do drugiej zwiększa obszar zawarty między nimi), a $|z|>r,$ gdzie $r$ to promień okręgu o środku 0 stycznego do obu cięciw (dla $z$ dostatecznie bliskich 1 można tak zakładać), to zachodzi nierówność:

{\frac {|1-z|}{1-|z|}}<{\frac {2}{l}}

gdzie $l$ jest długością odcinka pomiędzy 1 a punktem styczności cięciwy.

Dla $|z|<1$ zachodzi:

(1-z)\sum _{n=N+1}^{\infty }(s_{n}-s)z^{n}\leqslant |1-z|\varepsilon \sum _{n=N+1}^{\infty }|z|^{n}=\varepsilon |z|^{N+1}{\frac {|1-z|}{1-|z|}}

i ze względu na ograniczoność ${\frac {|1-z|}{1-|z|}}$ i dowolność wyboru $\varepsilon ,$ wyrażenie może być dowolnie małe. Zatem również $f(z)-s$ jest dla $z$ dostatecznie bliskich 1 dowolnie małe.

Bibliografia

Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1973.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Abel’s Convergence Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).