Matemágica: História, aplicações e jogos matemáticos - Volume II

Sampaio

Uma das maiores dificuldades das pessoas com relação à matemática é o seu alto grau de abstração.

Explicando mais claramente: a matemática parece ocupar-se de coisas que não têm uma representação no mundo físico, entidades estranhas, como números, símbolos e regras, que não são compreendidas por muitos de nós.

Para exemplificar como isso ocorre, apresentaremos dois problemas lógicos a serem resolvidos.

No 1º deles, você dispõe de 4 cartões, os quais apresentam em uma das faces um número, e do outro lado uma letra. Você deve verificar se está sendo respeitada a seguinte regra:

Se houver um número ímpar de um lado do cartão, então deverá haver uma vogal do outro lado dele.

Imagine que você recebeu os 4 cartões mostrados abaixo, dos quais vemos apenas uma das faces:

A pergunta é: Quais cartões devem ser obrigatoriamente observados nas faces de trás para que você tenha certeza de que a regra está sendo cumprida?.

É fundamental que você tente respondê-la sozinho, não importando se irá errar.

Vamos conferir sua resposta? Você acertou se respondeu: apenas os cartões 2 e 3. Surpreso?

Vamos explicar o porquê disso. A regra diz que se há número ímpar de um lado deverá haver vogal do outro lado. Assim, como o cartão 2 tem o número 7 (que é ímpar), deverá ser conferido para sabermos se há vogal do outro lado. Já o cartão 3 deve ser verificado porque se houver um número ímpar do outro lado, a regra estará quebrada.

E quanto aos cartões 1 e 4? Se do outro lado do cartão 1 houver um número ímpar, tudo bem, e se houver um número par também, pois a regra nada diz sobre o que devemos esperar quando há um número par!

Da mesma forma, o cartão 4 também não precisa ser verificado.

Agora um 2º problema: em uma mesa há quatro rapazes. Sabemos a idade de dois deles, mas não sabemos o que estão bebendo. De outros dois rapazes sabemos o que bebem, mas não conhecemos suas idades.

A regra que você deve verificar é:

Se o rapaz tiver menos de 18 anos, não poderá estar bebendo bebida alcoólica.

Encaminhando-nos às mesas observamos:

De quais dos rapazes você deve conferir a bebida ou a idade para se certificar de que a regra não está sendo quebrada? Tente sozinho novamente.

O rapaz 1 não precisa ter sua idade verificada, pois está bebendo refrigerante. O rapaz 2 precisa ter seu copo observado, pois tem apenas 15 anos, e não pode consumir bebidas alcoólicas. O rapaz 3 também deverá ter sua idade verificada, porque bebe cerveja. Já o último deles, por ter 27 anos, pode beber o que desejar, e não precisa ser verificado. Assim, apenas os rapazes 2 e 3 foram vistoriados.

O 2º problema lhe pareceu bem mais fácil, não é mesmo? Isso acontece porque, apesar de os dois problemas serem absolutamente idênticos (do ponto de vista da lógica), este último trata de coisas que você conhece, e seu cérebro precisa de menos esforço para entendê-lo. Esse teste, criado na década de 1970 pelo psicólogo inglês Peter Wason, prova exatamente isso.

O processo de executar uma divisão simples é de conhecimento de todos desde as séries iniciais na escola. Entretanto, o que poucos sabem é que essa mesma operação permite atacar problemas bem mais complicados, conhecidos como problemas diofantinos.

Vejamos um exemplo: "No reino de Diofante, os responsáveis pela economia decidiram alterar a moeda corrente, permitindo apenas notas cujos valores eram de 7 e 11 unidades, chamadas hips. Uma pessoa pagará uma conta de 111 hips em notas de 11 hips e deseja seu troco em notas de 7 hips. Como deverá ser feita essa transação?".

Poderíamos tentar obter a solução por meio de tentativas, mas isso pode levar algum tempo. Usaremos o algoritmo da divisão para resolver esse problema.

A ideia é efetuar a divisão entre as duas notas, de 11 e 7 hips.

Prosseguimos fazendo a divisão entre o divisor (7) e o resto (4):

Finalmente, realizamos novamente a divisão entre o novo divisor (4) e o novo resto (3):

Quando o último resto dá 1, encerramos o processo.

Realizada essa etapa, devemos utilizar as contas anteriores de trás para frente, como mostraremos adiante.

A última conta mostra que:

1 = 4 - (1 x 3)                           (A)

Assim, veja que o valor 1 foi escrito como uma combinação envolvendo os valores 4 e 3, que eram o dividendo e o divisor da última divisão.

A penúltima conta diz que:

3 = 7 - (1 x 4)                           (B)

Se, na primeira conta (A), trocarmos o valor em negrito 3 por 7 - (1 x 4), teremos:

1 = 4 - [1 x (7 - 1 x 4)] = 4 - (7 - 4)

Aqui precisamos explicar o que ocorre quando há um sinal do lado de fora dos parênteses. Suponha que você esteja fazendo a seguinte conta:

10 - (5 + 2)

Você pode distribuir o sinal menos trocando os sinais de tudo o que estiver do lado de dentro dos parênteses. Assim:

10 - 5 - 2 = 3

Da mesma forma, a conta 1 = 4 - (7 - 4) ficará:

1 = 4 - 7 + 4, portanto,

1 = (2 x 4) - (1 x 7)                           (C)

Veja que o valor 1 foi escrito como uma combinação envolvendo os números 7 e 4, que eram o dividendo e o divisor da penúltima divisão.

Finalmente, a primeira divisão nos diz que

4 = 11 - (1 x 7)

Se na afirmação identificada por C, trocarmos o 4 em negrito por 11 - (1 x 7), teremos:

1 = 2 x [11 - (1 x 7)] - (1 x 7) = (2 x 11) - (3 x 7)

Escrevemos o 1 como uma combinação dos valores 7 e 11, que eram o dividendo e o divisor da primeira divisão. Como no problema desejamos encontrar o valor 111, que é 111 vezes o valor 1, basta multiplicarmos a conta anterior por 111:

1 = (2 x 11) - (3 x 7) (x 111)

111 = (222 x 11) - (333 x 7)

Assim, a pessoa pagará a conta com 222 notas de 11 hips e receberá de troco 333 notas de 7 hips.

Há outras soluções possíveis.

O ser humano possui, por meio de sua inteligência, a capacidade de alterar seu ambiente, adequando-o a suas necessidades e mudando inclusive a própria percepção que tem dele.

Uma das formas de alterar nossa percepção é iludir a mente com aquilo que chamamos de ilusões ópticas. Para termos uma ideia de sua importância, os gregos já as utilizavam, por exemplo, nas colunas de seus templos: eles sabiam que, ao ficarmos defronte a uma construção muito alta, podemos ter a impressão de que o prédio se curva um pouco em nossa direção, parecendo que irá cair sobre nós. Conscientes desse efeito, os arquitetos gregos construíam suas colunas levemente curvas para trás, de modo que compensassem essa incômoda sensação. Somente com a construção dos grandes arranha-céus, ou seja, prédios muito altos, os engenheiros modernos redescobriram esse fato.

Observe as figuras seguintes: elas são um modo divertido de brincar com o efeito dessas ilusões em nossa mente.

Em ambos os casos, as linhas apresentadas são paralelas, isto é, mantêm a mesma distância entre si, mas temos a sensação de que isso não ocorre.

Arquitetos e decoradores utilizam essa pequena falha de nosso cérebro em perceber a geometria e mudam alguns aspectos dos imóveis para que uma sala pequena ou baixa pareça mais ampla. Vejamos como isso é feito.

Para dar a impressão de mais espaço, o segredo é aumentar a iluminação do local. Assim, janelas oferecem mais entrada de luz, e a pintura das paredes com cores claras aumenta sua reflexão.

Um outro truque é ter passagens entre a cozinha e a sala, por exemplo, mais largas: como nosso olhar alcança o outro cômodo, a sensação é de que eles são mais amplos.

Espelhos também refletem bastante luz e ampliam a percepção do espaço interior.

Se, por outro lado, desejamos dar a impressão de maior altura, linhas verticais pintadas nas paredes atraem nosso olhar para cima, e dão exatamente a sensação desejada. Já as linhas horizontais aumentam a largura do cômodo, fato conhecido também pelos estilistas de moda, que não recomendam roupas com essa característica em pessoas um pouco gordinhas, pois acentuaria seu problema.

As cores igualmente desempenham importante papel: de modo geral, cores fortes no chão ou no teto diminuem a altura, e nas paredes laterais dão um efeito de corredor.

Até mesmo a mobília pode ser usada para enganar nossos sentidos: a regra é afastar os móveis em direção às paredes, para que o chão fique mais à mostra, aumentando a dimensão da sala. E aquele quadro que costumamos colocar no meio da parede? A função dele é atuar como um foco para o nosso olhar, desviando-o das pequenas dimensões da parede e aumentando a sensação de espaço.

A ciência sabe que começamos a desenvolver nossa percepção de espaço por volta dos quatro meses de idade, e que ela progride permanentemente. Mas vimos que é possível enganá-la!

Você sabe o que as pesquisas eleitorais, a contagem de glóbulos nos exames de sangue e os seguros de carro, entre outros, têm em comum?

Muitos de seus resultados são obtidos usando-se a ideia de amostras. Vamos explicar. Na realização de pesquisas eleitorais, por exemplo, desejamos saber qual é o comportamento geral dos eleitores, ou seja, quantos irão votar em cada candidato, não é mesmo? Mas, para termos a certeza do resultado antes de realizarem-se as eleições, teríamos de entrevistar todas as pessoas envolvidas. Já deu para perceber que, além de custar muito caro, o trabalho seria quase impraticável.

A solução adotada é a seguinte: entrevista-se apenas uma certa quantidade de pessoas, que serão a nossa amostra, de modo que, se essa amostra for uma boa representação do eleitorado total, teremos razoável conhecimento do resultado final.

Você poderá perguntar: Mas o que garante que uma amostra é confiável?.

Vou responder usando uma comparação: se você quer saber se a sua sopa está ou não salgada, você precisa tomar a sopa toda? É claro que não. Basta provar uma colherada dela, que é uma amostra da sopa. O que lhe assegura que essa amostra da sopa é confiável? Bem, se você mexeu a sopa espalhando por igual o sal, os temperos e os legumes, certamente sua amostra é aceitável.

Deu para entender? No caso das pesquisas eleitorais, os estatísticos utilizam métodos que asseguram que a amostra é válida, com uma pequena chance de erro.

Um exemplo de cálculo

Suponha que você esteja contando o número de árvores em uma região formada por um retângulo imaginário de 1.000 m de comprimento por 500 m de largura, conforme a Figura 1.

Figura 1

Veja que contar diretamente todas as árvores seria absurdo, dada a quantidade muito grande delas. Então, podemos dividir a área total em uma quantidade de quadrados menores, todos de áreas iguais, e escolher um deles como amostra da região estudada.

Digamos que dividimos a área em quadrados de 10 m de lado, cada um. Em primeiro lugar, devemos saber quantos desses quadrados cabem na nossa área total.

No sentido do comprimento, cabem 100 lados dos quadradinhos de 10 m e, no sentido da largura, serão 50 lados de 10 m. Assim, teremos, dentro da área total, 100 x 50 = 5.000 quadradinhos de 10 m de lado.

Suponha que dentro de uma dessas