Момент (математика)

Моме́нт поря́дка $k$ системы материальных точек относительно начала отсчёта (лат. momentum — движущая сила, толчок, побудительное начало, от moveo — двигаю; англ. moment) — понятие механики и теории вероятностей, сумма

$x_{1}^{k}m_{1}+x_{2}^{k}m_{2}+\cdots =\sum _{i}x_{i}^{k}m_{i}$,

где $m_{1},m_{2},\dots (m_{i}>0)$ — массы материальных точек, которые расположены на одной прямой; $x_{1},x_{2},\dots$ — абсциссы этих точек относительно заданного начала отсчёта на прямой.

Статический момент — момент первого порядка.

Момент инерции — момент второго порядка.

Абсолютный момент — момент, в формуле которого вместо абсцисс подставлены их абсолютные значения.

Центр, или центр тяжести, системы масс — точка прямой с абсциссой, заданной следующей формулой:

${\frac {\sum _{i}x_{i}^{k}m_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$.

Центральный момент — момент, который вычислен относительно центра.

Любая система масс обладает следующими свойствами:

• центральный статистический момент равен нулю;
• центральный момент инерции наименьший из всех моментов инерции.

Неравенство Чебышёва. Сумма масс точек, находящихся от произвольной точки $O$ на расстоянии, большем $a$, не превышает момента инерции системы точек относительно точки $O$, разделённого на $a^{2}$.

Недискретное распределение массы

Момент порядка $k$ непрерывного распределения массы относительно начала отсчёта — абсолютно сходящийся интеграл

$\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx$,

где $f(x)\geqslant 0$ — плотность распределения массы. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу.

Еси же масса произвольно распределена, то суммы в выражениях для момента заменяются интегралами Стилтьеса. Именно таким путём и возник впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу.

Теория вероятностей

Основная статья: Моменты случайной величины

В теории вероятностей абсциссы заменяются различными возможными значениями случайной величины, а массы — соответствующими вероятностями, причём сумма всех вероятностей (масс) равна 1:

• математическое ожидание данной случайной величины — момент первого порядка, который в теории вероятностей есть абсцисса центра (сумма вероятностей 1);
• дисперсия данной случайной величины — центральный момент второго порядка.

Неравенство Чебышёва чрезвычайно важно в теории вероятностей. В математической статистике моменты служат обычно основными статистическими сводными характеристиками распределений.

Статические моменты плоской кривой

Обзорная статья: Элемент длины

Определения

Статические моменты точки $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ — произведения $my$ и $mx$ соответственно, где $m$ — масса материальной точки $M$, имеющей координаты $x$ и $y$ на плоскости.

Рассмотрим спрямляемую кривую $AB=\{r(l),\,0\leqslant l\leqslant L\}$, где $l$ — переменная длина дуги. Кривая $AB$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной $\Delta l$ равна $\Delta m=\rho \Delta l$, где $\rho$ — некоторая постоянная.

Линейная плотность кривой $AB$ — коэффициент пропорциональности $\rho ={\frac {\Delta m}{\Delta l}}$, где дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta m$, то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги.

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью.

Пусть для простоты в дальнейшем $\rho =1$, то есть дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta l$, в частности, масса всей кривой $AB$ равна $L$.

Момент кривой относительно оси — момент $M_{x}$ ($M_{y}$) кривой $AB$ относительно оси $Ox$ ($Oy$) равен следующей величине:

$M_{x}=\int _{0}^{L}y\,dl\quad$ $\left(M_{y}=\int _{0}^{L}x\,dl\right)$.

Центр тяжести кривой — точка плоскости $P(x_{0},\,y_{0})$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой $L$ всей кривой $AB$, то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси.

По определению получаем, что

$x_{0}L=M_{y},\quad$ $y_{0}L=M_{x},$

то есть имеем следующие формулы:

$x_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x\,dl,\quad$ $y_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}y\,dl.$

Теорема Гульдина

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

$y_{0}L=\int _{0}^{L}y\,dl$

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$S=\int _{0}^{L}2\pi y\,dl$,

имеем интересное соотношение

$S=2\pi y_{0}L$,

которое и доказывает теорему.

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой.

Примеры

Площадь поверхности вращения окружности

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

$S=(x-a)^{+}y^{2}=r^{2},\,\quad$ $0<r<a,$

не пересекающей ось $Oy$, вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеем:

$S=2\pi a\cdot 2\pi r=4\pi ^{2}ar$,

Центр тяжести цепной линии

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулой:

$y=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}},\quad$ $-b\leqslant x\leqslant b.$

Цепная линия симметрична относительно оси $Oy$, поэтому момент

$M_{y}=0$,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью $Oy$, и пусть $2L$ — длина цепной линии, тогда

$M_{y}=\int _{-L}^{L}x(l)\,dl=0$,

так как $x(l)$ — нечётная функция. И поскольку $2Lx_{0}=M_{y}$, то получаем первую координату центра тяжести:

$x_{0}=0$.

Рассмотрим выражение для следующего момента

$M_{x}=\int _{-L}^{L}y\,dl$,

причём

$2\pi M_{x}=2\pi y_{0}L=S_{x}$,

где $S_{x}$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси $Ox$, то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида $S_{x}=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)$, следовательно, получаем следующее уравнение:

$M_{x}={\frac {a}{2}}\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)$.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии $2L$ легко определить по формуле

$2L=\int _{-b}^{b}dl=\int _{-b}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=$

$=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{a}}}}\,dx=\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}{\Bigr |}_{-b}^{b}=2a\operatorname {sh} {\frac {b}{a}}$,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжести:

$y_{0}={\frac {M_{x}}{2L}}={\frac {2b+a\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {2b}{a}}}}{4\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {b}{a}}}}}$.

Статические моменты плоской фигуры

Обзорная статья: Элемент длины

Определения

Статические моменты плоской фигуры

Пусть дана некоторая плоская фигура $AA'B'B$ (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой $AB$ с явным уравнением неотрицательной функции $y=f(x)$, и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью $\rho$. Без умаления общности положим $\rho =1$, то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигуры.

Вычислим статические моменты $M_{x}$ и $M_{y}$ криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь) $ydx$. Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести $\left(x+{\frac {1}{2}}dx,\,{\frac {1}{2}}y\right)=\left(x,\,{\frac {1}{2}}y\right)$, поскольку ${\frac {1}{2}}dx\cdot ydx$ есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моменты:

$dM_{x}={\frac {1}{2}}y^{2}dx,\quad$ $dM_{y}=xydx.$

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

$M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,\quad$ $M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,$

где $y=f(x)$.

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести плоской фигуры. Пусть $S$ — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

$Sx_{0}=M_{y}=\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad$ $Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx,$

откуда получаем следующие координаты центра тяжести:

$x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}xy\,dx,\quad$ $y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}y^{2}\,dx.$

Теорема Гульдина

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигуры.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

$2y_{0}S=\int _{a}^{b}y^{2}\,dx$

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$V=\int _{a}^{b}\pi y^{2}\,dx$,

имеем интересное соотношение

$V=2\pi y_{0}S$,

которое и доказывает теорему.

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

$y_{1}=f_{1}(x),\quad$ $y_{2}=f_{2}(x),$

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментов:

$M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx,\quad$ $M_{y}=\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx.$

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидны:

$x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y}={\frac {1}{S}}\int _{a}^{b}x(y_{2}-y_{1})\,dx,\quad$ $y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}={\frac {1}{2S}}\int _{a}^{b}(y_{2}^{2}-y_{1}^{2})\,dx.$

Поскольку площадь такой фигуры есть

$S=\int _{a}^{b}(y_{2}-y_{1})\,dx$,

то вторая теорема Гульдина верна и здесь.

Примеры

Статические моменты и центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

Найдём оба статических момента $M_{x}$ и $M_{y}$, а также обе координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой $y^{2}=2px$, снизу осью $x$ и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе $x$. Исходя из уравнения параболы $y={\sqrt {2px}}$ и формул

$Sx_{0}=M_{y}=\int _{0}^{x}xy\,dx,\quad$ $Sy_{0}=M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}y^{2}\,dx,$

получаем следующие выражения для статистических моментов:

$M_{x}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}2px\,dx={\frac {1}{2}}px^{2}={\frac {1}{4}}y^{2}x,$

$M_{y}=\int _{0}^{x}x{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{5}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {5}{2}}={\frac {2}{5}}yx^{2}.$

Вычислим площадь криволинейной трапеции:

$S=\int _{0}^{x}{\sqrt {2px}}\,dx={\frac {2}{3}}{\sqrt {2p}}x^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}yx.$

Теперь по формулам

$x_{0}={\frac {1}{S}}M_{y},\quad$ $y_{0}={\frac {1}{S}}M_{x}$

находим следующие выражения для координат центра тяжести:

$x_{0}={\frac {3}{5}}x,\quad$ $y_{0}={\frac {3}{8}}{\sqrt {2px}}={\frac {3}{8}}y.$

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигуры:

$V=2\pi (x-{\frac {3}{5}}x)S={\frac {8}{15}}\pi x^{2}y.$

Центр тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды и осью абсцисс

Найдём координаты $x_{0}$ и $y_{0}$ центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

$x=a(t-\sin t),\quad$ $y=a(1-\cos t)$

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

$S=3\pi a^{2},\quad$ $V=5\pi ^{2}a^{3},$

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаем:

$x_{0}=\pi a,\quad$ $y_{0}={\frac {5}{6}}a.$

Проблема моментов

Проблема моментов — проблема математического анализа по определению свойств произвольной функции $f(x)$ по известным свойствам последовательности её моментов:

$\mu _{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)\,dx$.

Эту задачу впервые рассмотрел в 1874 году П. Л. Чебышёв в контексте исследований по теории вероятностей (при попытке доказать центральную предельную теорему). В последствии при рассмотрении этой задачи возникли новые мощные методы математического анализа.

Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. II. 584 с., ил.
• Момент // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 16. Мёзия — Моршанск. 1974. 616 с. с илл., 28 л. илл., 4 л. карт. С. 491. Многоугольник // БСЭ 3-е издание. Основной вариант Архивная копия от 7 апреля 2023 на Wayback Machine
• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. I. Изд. 6, стереотип. М.: «Наука», 1968. 440 с. с илл.