Оператор Лапласа — Бельтрами

Опера́тор Лапла́са — Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми — Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии $M$.

В координатах $x_{1},\ldots ,x_{n},$ где $n=\dim M,$ оператор Лапласа — Бельтрами задается следующим образом. Пусть $(g_{ij})$ — матрица метрического тензора риманова многообразия, $(g^{ij})$ — обратная матрица и $g=\det(g_{ij})$, тогда оператор Лапласа — Бельтрами имеет вид

$-\sum _{i,j}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggl (}g^{ij}{\sqrt {g}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\biggr )}.\qquad (*)$

Примеры

• В случае, когда $M$ — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой $(g_{ij})=(\delta _{ij})$ — единичная матрица, оператор Лапласа — Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа.

• Пусть $\dim M=2$ и метрический тензор имеет вид $ds^{2}=E(x,y)\,dx^{2}+2F(x,y)\,dxdy+G(x,y)\,dy^{2},$ тогда формула (*) принимает вид

  ${\frac {\partial }{\partial x}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial y}}-G{\frac {\partial }{\partial x}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\biggl (}{\frac {F{\frac {\partial }{\partial x}}-E{\frac {\partial }{\partial y}}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}{\biggr )}.\qquad (**)$

• Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка $Lf=0,$ где оператор $L$ задан формулой (**), разрешимо, если функции $E,F,G$ аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изометрических (конформных) координат на поверхности $M$, т. е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.

Литература

• Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
• Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.