Производная Пинкерле

В математике, производная Пинкерле T’ линейного оператора T:K[x] → K[x] на векторном пространстве многочленов от переменной x над полем K это коммутатор оператора T с умножением на x в алгебре эндоморфизмов End(K[x]). T.e. T’ является ещё одним линейным оператором T’:K[x] → K[x]

$T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatorname {ad} (x)T.$

Более подробно, на многочлене $p(x)$ этот оператор действует следующим образом:

$T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x].$

Названа в честь итальянского математика Сальваторе Пинкерле.

Свойства

Производная Пинкерле, как и любой коммутатор, является дифференцированием, удовлетворяющим правилу произведения и суммы: для любых линейных оператора $\scriptstyle S$ и $\scriptstyle T$, принадлежащих $\scriptstyle \operatorname {End} \left(\mathbb {K} [x]\right)$, выполняется

1. $\scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime }}$ ;
2. $\scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}$ где $\scriptstyle {TS=T\circ S}$ является композицией операторов ;

Также $\scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},$ где $\scriptstyle {[T,S]=TS-ST}$ — обычная скобка Ли, что следует из тождества Якоби.

Обычная производная, D = d/dx, является оператором на многочленах. Прямое вычисление показывает, что её производная Пинкерле равна

$D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatorname {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.$

По индукции, эта формула обобщается до

$(D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.$

Это доказывает, что производная Пинкерле дифференциального оператора

$\partial =\sum a_{n}{{d^{n}} \over {dx^{n}}}=\sum a_{n}D^{n}$

также является дифференциальным оператором, так что производная Пинкерле есть дифференцирование $\scriptstyle \operatorname {Diff} (\mathbb {K} [x])$.

Оператор сдвига

$S_{h}(f)(x)=f(x+h)$

может быть записан

$S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}$

с помощью формулы Тейлора. Тогда его производная Пинкерле равняется

$S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}.$

Другими словами, операторы сдвига есть собственные векторы производной Пинкерле, чей спектр есть все пространство скаляров $\scriptstyle {\mathbb {K} }$.

Если T инвариантен к сдвигу, то есть если T коммутирует с S_h или $\scriptstyle {[T,S_{h}]=0}$, мы также имеем: $\scriptstyle {[T',S_{h}]=0}$, так что $\scriptstyle T'$ также является инвариантным к тому же сдвигу $\scriptstyle h$.

Дельта-оператор дискретного времени

$(\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \over h}$

это оператор

$\delta ={1 \over h}(S_{h}-1),$

чья производная Пинкерле — оператор сдвига $\scriptstyle {\delta '=S_{h}}$.

См. также

• Коммутатор операторов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pincherle Derivative. MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle на MacTutor History of Mathematics archive.