Первый и второй методы Ляпунова

Все способы исследования устойчивости, развитые А. М. Ляпуновым в работе, разделены им на два метода (две категории).

К первому методу отнесены все способы исследования устойчивости, «которые приводятся к непосредственному исследованию возмущенного движения, и в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциальных уравнений. Вообще эти решения придется искать под видом бесконечных рядов. . . Это суть ряда, расположенные по целым положительным степеням постоянных произвольных. Но далее мы встретимся также и с некоторыми рядами другого характера». Иногда метод линеаризации также называют первым методом Ляпунова. Однако это не так: теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по первому приближению можно доказать, применяя способы исследования как первого так и второго методов Ляпунова. Ко второму методу А. М. Ляпуновым отнесены все способы исследования устойчивости, в основании которых лежит отыскание функций переменных u, t «по некоторым данным условиям, которым должны удовлетворять их полные производные по t, составленные в предположении, что» u = u(t) есть функция, удовлетворяющая уравнению

ẋ = F(x, t). (1)

Второй метод Ляпунова часто называют прямым методом. Способы исследования устойчивости, относящиеся как к первому, так и ко второму методу до Ляпунова использовались в частных случаях А. Пуанкаре в работе. Как отмечал сам А. М. Ляпунов в своей диссертации: «Хотя Пуанкаре ограничивается очень частными случаями, но методы, которыми он пользуется, допускают значительно более общие приложения и способны привести ещё ко многим новым результатам. Идеями, заключающимися в названном мемуары, я руководствовался при большей части моих изысканий».

Первый метод А. М. Ляпунова позволил ему получить ряд весьма глубоких и важных результатов. В качестве примера отметим теорию условной устойчивости, развитую им в работе на основе первого метода. Одно из достоинств данного метода состоит в том, что он работает в наиболее тонких случаях и позволяет не только указать качественную картину изучаемого явления, но и построить явный вид исследуемых решений. В основу своего второго метода Ляпунов кладет несколько основных установленных им теорем. Эти теоремы оказались настолько эффективными, что с их помощью удалось исключительно просто разрешить задачу устойчивости по первому приближению. Вместе с тем, они позволили Ляпунову рассмотреть и некоторые основные критические случаи, когда первое приближение не решает задачи устойчивости. В настоящее время из двух методов прямой метод Ляпунова получил наибольшее распространение благодаря своей простоте и эффективности.

Теоремы прямого (второго) метода Ляпунова об устойчивости

Мы приведем здесь теоремы об устойчивости нулевого решения возмущённой системы в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ в частном случае, когда она автономна, то есть имеет вид:

$u'=f(u)$. (2)

При этом предполагается, что $f(0)=0$, так что $u_{0}(t)=0$ является решением этого уравнения. К этой задаче приходим, изучая устойчивость равновесия автономной системы

${\dot {x}}=F(x)$. (3)

Для любой непрерывно дифференцируемой функции V(u), определённой в некоторой окрестности D точки 0 ꞓ Rⁿ, определим V — производную функции V(u) в силу дифференциального уравнения (2), полагая

$V'=gradV(u)*f(u)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {dV(u)}{du_{j}}}*f_{j}(u)$. (4)

Если u(t) — любое решение уравнения (2), то справедлива формула

${d \over dt}V(u(t))=V'(u(t))$. (5)

которая и подтверждает целесообразность определения (4).

• Определение 1.

Функция V(u) называется знакоположительной в области D, если V(0) = 0, V(u) ≥ 0 для всех u из области ее определения D (D — некоторая окрестность нуля в R_n).

• Определение 2.

Функция V(u) называется определенно положительной (или положительно определенной), если она знакоположительна u, сверх того, V(u) > 0 для любого u ꞓ D отличного от 0.

Аналогично определяются знакоотрицательные и определённо отрицательные функции.

• Определение 3.

Функция V называется знакопостоянной, если она знакоположительна или знакоотрицательна.

• Определение 4.

Функция V называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

• Определение 5.

Если функция V принимает в области D значения как положительного знака, так и отрицательного, то в этом случае V называют знакопеременной функцией.

В приводимых ниже теоремах 1-4 предполагается, что V(u) — непрерывно-дифференцируемая функция, определённая в некоторой окрестности D точки 0 ꞓ R_n; используется обозначение V'(u) — производная функции V(u) в силу дифференциального уравнения (2).

• Теорема 1 (Теорема Ляпунова об устойчивости).

Если существует определенно положительная функция V(u), производная которой V'(u) знакоотрицательна, то u₀(t) — устойчивое решение уравнения (2).

• Теорема 2 (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).

Пусть существует определенно положительная функция V(u), производная которой V'(u) является определенно отрицательной функцией. Тогда u₀(t) — асимптотически устойчивое решение уравнения (2).

• Теорема 3 (Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости).

Если существует положительно определённая функция V(u) такая, что V'(u) < 0 вне M и V'(u) ≤ 0 на M, где M — множество, не содержащее целых траекторий уравнения (2), кроме точки нуль, то нулевое решение u₀(t) уравнения (2) асимптотически устойчиво.

• Определение 6.

Функция V(u) называется бесконечно большой, если для любого положительного числа K > 0 существует R > 0 такое, что из |u| > R следует, что |V(u)| > K.

Теорема 4 (об асимптотической устойчивости в целом). Если существует определённо положительная бесконечно большая функция V(u), производная которой V'(u) является определённо отрицательной функцией во всем пространстве, то нулевое решение u₀(t) уравнения (2) асимптотически устойчиво в целом. Функции, удовлетворяющие теоремам 1-2 прямого метода Ляпунова, называют функциями Ляпунова. Существование надлежащей функции Ляпунова является достаточным условием устойчивости или асимптотической устойчивости решения.

Литература

• Л. Г. Куракин, И. В. Островская ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2016. — 60 с.