Теорема косинусов

Эта статья — о теореме планиметрии. О теоремах для сферических треугольников см. Теоремы косинусов (сферическая геометрия).

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами $a,b,c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, справедливо соотношение:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha .$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательства

Классическое доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

$AD=b\cos \alpha$,

откуда

$DB=c-b\cos \alpha$.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)$

$h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

$b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}$

или

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$.

Доказательство через координаты

Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c, AC=b, CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$
Так как
$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$■

Заметим, что для прямого угла $\alpha ={\tfrac {\pi }{2}}$, теорема также работает (поскольку $\cos {\tfrac {\pi }{2}}=0$, получаем $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ — теорема Пифагора). Однако в приведённом доказательстве применялась теорема Пифагора, и доказательство её через теорему косинусов приводит к «порочному кругу».

Доказательство через векторы

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$
где a, b, c -- длины соответствующих векторов

Следствия

• Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

  $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

В частности,

• Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$, угол α — острый
• Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
• Если $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$, угол α — тупой

• Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде:

$a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)$,

$a^{2}=(b-c)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)$.

Доказательство

Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы - квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:

$1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)$,

$1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)$.

Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов.

• Находя из двух последних формул в явном виде $\cos(\alpha /2)$ и $\sin(\alpha /2)$, получим известные формулы геометрии:

  $\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}$, $\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}$, $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}$, где p — полупериметр.

• Наконец, используя правые части формул для $\cos(\alpha /2)$ и $\sin(\alpha /2)$ и известную формулу площади треугольника: $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$, а также известную формулу синуса двойного угла $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где p — полупериметр.

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)$

$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в предложениях 12 и 13 книги II «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
• Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

  $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве $E$ задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}})}}$. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема. $\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left\Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C$, где $\omega$ — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C$

Формула справедлива и для тетраэдра, под $w$ подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами $a$ и $c$ зная все ребра тетраэдра:

$\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac$

Где $b$ и $d$, $e$ и $f$ пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами $\alpha ,\gamma$ и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

$e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )$

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
• Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

Основная статья: Симплекс § Свойства

$S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$.

$\angle A$ — угол между гранями $S_{i}$ и $S_{j}$, $S_{i}$ — грань, находящаяся против вершины i, а $d_{ij}$ — расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трёхгранного угла
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0.