Уравнение Риккати

Для термина «Риккати» см. также другие значения.

Уравнение Рикка́ти — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

${\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)$

Уравнением Риккати называют также многомерный аналог $(*)$, то есть систему обыкновенных дифференциальных уравнений с независимыми переменными $x_{1},\ldots ,x_{n},$ правые части которых являются многочленами второй степени от переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ с зависящими от $t$ коэффициентами. Одномерные и многомерные уравнения Риккати находят применения в различных областях математики: алгебраической геометрии, теории вполне интегрируемых гамильтоновых систем, вариационном исчислении, теории конформных отображений, квантовой теории поля.

История

Частный случай такого уравнения:

$b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)$

где $\alpha ,\,a,\,b$ — не равные нулю постоянные, впервые был исследован итальянскими математиками Якопо Франческо Риккати и семейством Бернулли (Даниил, Иоганн, Николай-старший и Николай-младший). Ими было найдено условие, при котором это уравнение допускает разделение переменных и, следовательно, интегрирование в квадратурах: $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ или $\alpha =-2.$ Как доказал Жозеф Лиувилль (1841), при других значениях $\alpha$ решение уравнения $(**)$ нельзя выразить в квадратурах от элементарных функций; общее решение его может быть записано с помощью цилиндрических функций.

Уравнение вида $(*)$ часто называют общим уравнением Риккати, а уравнение вида $(**)$ — специальным уравнением Риккати.

Свойства

• Уравнение Риккати в случае $a(t)=0$ является линейным и интегрируется в квадратурах.
• Уравнение Риккати в случае $c(t)=0$ является уравнением Бернулли и интегрируется в квадратурах с помощью замены $y=1/x.$
• Общее решение уравнения Риккати является дробно-линейной функцией от постоянной интегрирования, и обратно, любое дифференциальное уравнение первого порядка, обладающее этим свойством, является уравнением Риккати.
• Если $x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)$ — частные решения уравнения Риккати, соответствующие значениям $c_{1},\ldots ,c_{4}$ постоянной интегрирования, то имеет место тождество

${\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t)}}:{\frac {x_{4}(t)-x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)$

• Левая часть тождества $(***)$ — двойное отношение четырёх частных решений — является первым интегралом уравнения Риккати. Таким образом, общее решение уравнения восстанавливается из трёх независимых частных решений по формуле $(***)$.

Применения

• В римановой геометрии уравнению Риккати

  $S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

удовлетворяют операторы формы для эквидистанционных поверхностей вдоль перпендикулярной к ним геодезической с касательным полем $T$. Как и уравнение Якоби, это уравнение применяется при исследовании геодезических.

Вариации и обобщения

Матричным уравнением Риккати называется дифференциальное уравнение

${\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)$

относительно неизвестной квадратной матрицы $X=(x_{ij})$ порядка $n$, в котором $A,B_{1},B_{2},C$ — заданные квадратные матрицы порядка $n$ с зависящими от переменной $t$ коэффициентами.

В вариационном исчислении большую роль играет матричное уравнение Риккати вида

${\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{-1}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t)$

относительно неизвестной квадратной матрицы $W=(w_{ij})$ порядка $n$, в котором $P,Q,R$ — заданные квадратные матрицы порядка $n$ с зависящими от переменной $t$ коэффициентами, причем $\det P\neq 0,$ звёздочка означает транспонирование. Оно тесно связано с уравнением Якоби для второй вариации интегрального функционала

$J=\int f(t,x,{\dot {x}})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

в стационарной точке ${\widehat {x}}(\cdot ).$ При этом матрицы

$P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot {x}}_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)}.$

Литература

• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Егоров А. И. Уравнения Риккати, — Физматлит, Москва, 2001.
• Лауфер М. Я. О решении уравнений Риккати // Лауфер М. Я. Избранные задачи математической физики. Сб. статей.— Северодвинск: НТО кораблестроителей им. акад. А. Н. Крылова, Севмашвтуз, Северодв. отд-ние Ломоносов. фонда, 2005.— стр. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9.

Ссылки

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation