С Википедије, слободне енциклопедије
Рикатијева једначина је диференцијална једначина облика:
y
′
=
P
(
x
)
+
Q
(
x
)
y
+
R
(
x
)
y
2
{\displaystyle y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}}
где су
P
(
x
)
≠
0
{\displaystyle P(x)\neq 0}
R
(
x
)
≠
0
{\displaystyle R(x)\neq 0}
P
(
x
)
=
0
{\displaystyle P(x)=0}
Бернулијевој једначини . Добила је име по италијанском математичару Јакопу Рикатију .
Нелинеарна Рикатијева једначина:
y
′
=
q
0
(
x
)
+
q
1
(
x
)
y
+
q
2
(
x
)
y
2
{\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}
може да се редукује на линеарну диференцијалну једначину другога реда, па се онда решавањем те једначине може да се реши и Рикатијева једначина. У случају да
q
2
{\displaystyle q_{2}}
v
=
y
q
2
{\displaystyle v=yq_{2}}
v
′
=
(
y
q
2
)
′
=
y
′
q
2
+
y
q
2
′
=
(
q
0
+
q
1
y
+
q
2
y
2
)
q
2
+
v
q
2
′
q
2
=
q
0
q
2
+
(
q
1
+
q
2
′
q
2
)
v
+
v
2
.
{\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}
Ако ту означимо
S
=
q
2
q
0
{\displaystyle S=q_{2}q_{0}}
R
=
q
1
+
(
q
2
′
q
2
)
{\displaystyle R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)}
v
′
=
v
2
+
R
(
x
)
v
+
S
(
x
)
.
{\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x).\!}
Уведемо ли супституцију
v
=
−
u
′
/
u
{\displaystyle v=-u'/u}
v
′
=
−
(
u
′
/
u
)
′
=
−
(
u
″
/
u
)
+
(
u
′
/
u
)
2
=
−
(
u
″
/
u
)
+
v
2
{\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}
u
″
/
u
=
v
2
−
v
′
=
−
S
−
R
v
=
−
S
+
R
u
′
/
u
{\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}
односно добија се диференцијална једначина за
u
{\displaystyle u}
u
″
−
R
(
x
)
u
′
+
S
(
x
)
u
=
0
{\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}
Знамо ли једно од парцијалних решења
y
1
{\displaystyle y_{1}}
y
=
y
1
+
u
{\displaystyle y=y_{1}+u}
Супституцијом тога решења у Рикатијевој једначини добијамо:
y
1
′
+
u
′
=
q
0
+
q
1
⋅
(
y
1
+
u
)
+
q
2
⋅
(
y
1
+
u
)
2
,
{\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}
и онда:
y
1
′
=
q
0
+
q
1
y
1
+
q
2
y
1
2
{\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}}
u
′
=
q
1
u
+
2
q
2
y
1
u
+
q
2
u
2
{\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}
тј. добија се Бернулијева диференцијална једначина :
u
′
−
(
q
1
+
2
q
2
y
1
)
u
=
q
2
u
2
,
{\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}
Бернулијеву једначину решавамо супституцијом
z
=
1
u
{\displaystyle z={\frac {1}{u}}}
y
=
y
1
+
1
z
{\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}
па се од Рикатијеве једначине добија линеарна једначина:
z
′
+
(
q
1
+
2
q
2
y
1
)
z
=
−
q
2
{\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}
