kurve

Enhver kurve i planet er definert ved en ligning av typen \(y = f(x)\). Ligningen angir sammenhengen mellom koordinatene x og y for punkter som ligger på kurven.

De to hovedklassene av kurver er de transcendente og de algebraiske kurver, som kan beskrives av henholdsvis transcendente og algebraiske funksjoner. Særlig for algebraiske kurver finnes det en høyt utviklet teori.

Ofte gis en kurves ligning på implisitt form, som en ligning \(F(x, y) = 0\), så man må finne den eller de verdiene av y som svarer til en bestemt verdi av x. y kan også være gitt eksplisitt ved \(y = f(x)\). Man kan også gi kurvens ligning i parameterform \(x = \alpha (t)\), \(y = \beta(t)\), hvor \(\alpha (t)\) og \(\beta (t)\) er funksjoner av en parameter t, slik at de forskjellige verdier av t gir punktene (x, y) på kurven.

Eksempler: Ligningen for en sirkel, på implisitt form, er \(x^2 + y^2 = r^2\), og av denne kan man bestemme y eksplisitt ved \(y=\pm\sqrt{r^2-x^2}\)

En parameterfremstilling av en ellipse er \(x = a \sin t, y = b \cos t\).

En kurve i rommet kan være definert ved to ligninger \(y = f(x), z= g(x)\). Denne oppfattes som skjæringskurven mellom de to flatene som bestemmes av disse ligningene.

Kurver i rommet sies å være algebraiske hvis \(f\) og \(g\)er algebraiske funksjoner, ellers er de transcendente. For romkurver brukes også ofte en parameterfremstilling: \(x = \alpha (t), y = \beta (t), z = \gamma (t)\).

Et eksempel på en kurve i rommet er heliksen. Kurver i høyere dimensjonale rom kan defineres på tilsvarende måter.

En kurve kan defineres ved sin ligning \(y = f(x)\). For at de tilsvarende punktene \((x, y)\) i planet skal ha slike egenskaper som man vanligvis tillegger en kurve, er det imidlertid nødvendig å gjøre visse forutsetninger om funksjonen f.

Man forlanger som regel først at kurven skal være sammenhengende, og dette svarer til at funksjonen \(f\) er kontinuerlig. Denne betingelsen er imidlertid ikke tilstrekkelig for at kurven skal ha en tangent. Karl Weierstrass gav et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke har noen derivert i noe punkt. Like overraskende var Giuseppe Peanos eksempel, som viser at punktene bestemt ved ligningene \(x = \alpha (t), y = \beta (t)\), der \(\alpha (t)\) og \(\beta (t)\) er kontinuerlige funksjoner, kan svare til alle punkter i et kvadrat.

Disse og andre eiendommelige resultater har gjort det nødvendig å studere nærmere hvilke betingelser man skulle like å stille for at en punktmengde skal kunne kalles en kurve. Det viser seg at det finnes mange, naturlige egenskaper, og ettersom man tilfredsstiller de forskjellige betingelser, får man forskjellige kurvebegreper.

Et av de viktigste kurvebegrepene ble innført av Camille Jordan. En (lukket) jordankurve er en punktmengde som kan avbildes entydig og kontinuerlig på en sirkel, og den har den egenskap at den deler planet i to atskilte deler, slik at man ikke kan gå fra én del til en annen uten å krysse kurven.

I de vanligste undersøkelsene av kurver, for eksempel i differensialgeometrien eller anvendt matematikk, gjør man betydelig sterkere forutsetninger om kurvens og den tilsvarende funksjons egenskaper. Som regel forutsettes at de høyere deriverte av \(f\) eksisterer så langt som de er nødvendige for regningene, og ofte antas \(f\) å være en analytisk funksjon.

De greske matematikere studerte tidlig forskjellige kurver, særlig kjeglesnitt. Disse kurvene ble enten oppfattet som det geometriske sted for punkter med visse egenskaper, som snitt av flater, eller som banen for et punkt som beveger seg. Ved innføringen av analytisk geometri og koordinatsystemer ble studiet av kurver og kurvenes egenskaper nært knyttet til teorien for funksjoner.

• krumning
• normal
• tangent
• isokron kurve