Dirichlets betafunktion

Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion.

Definition

Dirichlets betafunktion definieras som

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}.$

En ekvivalent definition är

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.$

I båda fallen antas det att Re(s) > 0.

Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion:

$\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).$

En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:

$\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),$

som också göller för alla komplexa s.

Produktrepresentation

Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa $s$ vars reella del är större än 1:

$\beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}.$

Funktionalekvation

Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av

$\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)$

där Γ(s) är gammafunktionen.

Speciella värden

Några speciella värden är:

$\beta (0)={\frac {1}{2}},$

$\beta (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},$

$\beta (2)\;=\;G,$

där G är Catalans konstant;

$\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},$

$\beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),$

$\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},$

$\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},$

där $\psi _{3}(1/4)$ i exemplet ovan är polygammafunktionen. Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k:

$\beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},$

där $\!\ E_{n}$ är Eulertalen. För heltal k ≥ 0 gäller

$\beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.$

Derivata

En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för $\mathrm {Re} s>0$ är

$\beta ^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\ln(2n+1)}{(2n+1)^{s}}}.$

Speciella värden är:

$\beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}=0{,}583121\ldots$

$\beta ^{\prime }(0)=\ln {\frac {\Gamma ^{2}(1/4)}{2\pi {\sqrt {2}}}}=0{,}391594\ldots$

$\beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)=0{,}192901\ldots$

För alla positiva hltal $n$ gäller formeln:

$\sum _{k=1}^{\infty }\ln {\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}=-\beta ^{\prime }(n).$

Övriga formler

En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+x^{2}y^{2}}}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\beta (s+2).$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet beta function, 11 november 2013.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Dirichletsche Betafunktion, 11 november 2013.