Hoppa till innehållet

Dirichlets betafunktion

Från Wikipedia

Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion.

Dirichlets betafunktion definieras som

En ekvivalent definition är

I båda fallen antas det att Re(s) > 0.

Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion:

En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:

som också göller för alla komplexa s.

Produktrepresentation

[redigera | redigera wikitext]

Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa vars reella del är större än 1:

Funktionalekvation

[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av

där Γ(s) är gammafunktionen.

Speciella värden

[redigera | redigera wikitext]

Några speciella värden är:

där G är Catalans konstant;

där i exemplet ovan är polygammafunktionen. Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k:

där är Eulertalen. För heltal k ≥ 0 gäller

En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för är

Speciella värden är:

För alla positiva hltal gäller formeln:

Övriga formler

[redigera | redigera wikitext]

En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet beta function, 11 november 2013.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Dirichletsche Betafunktion, 11 november 2013.