Dirichlets betafunktion: Skillnad mellan sidversioner
K9re11 (Diskussion | Bidrag) mIngen redigeringssammanfattning |
Ingen redigeringssammanfattning |
||
Rad 14: | Rad 14: | ||
Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa ''s'' med hjälp av [[Hurwitzs zetafunktion]]: |
Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa ''s'' med hjälp av [[Hurwitzs zetafunktion]]: |
||
:<math>\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta\left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta\left( s, {3 \over 4}\right) \right).</math> |
:<math>\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta\left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta\left( s, {3 \over 4}\right) \right).</math> |
||
En annan definition med hjälp av [[Lerchs transcendent]] är: |
En annan definition med hjälp av [[Lerchs transcendent]] är: |
||
Rad 23: | Rad 23: | ||
==Produktrepresentation== |
==Produktrepresentation== |
||
Dirichlets betafunktion kan skrivas som en [[oändlig produkt]] för alla komplexa <math> s </math> vars reella del är större än 1: |
Dirichlets betafunktion kan skrivas som en [[oändlig produkt]] för alla komplexa <math> s </math> vars reella del är större än 1: |
||
:<math> \beta(s) = \prod_{p \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 - p^{-s}} \prod_{p \equiv 3 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 + p^{-s}}. </math> |
:<math> \beta(s) = \prod_{p \equiv 1 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 - p^{-s}} \prod_{p \equiv 3 \ \mathrm{mod} \ 4} \frac{1}{1 + p^{-s}}. </math> |
||
==Funktionalekvation== |
==Funktionalekvation== |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
:<math>\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) |
:<math>\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) |
||
Rad 37: | Rad 34: | ||
där Γ(''s'') är [[gammafunktionen]]. |
där Γ(''s'') är [[gammafunktionen]]. |
||
==Speciella värden== |
==Speciella värden== |
||
Några speciella värden är: |
Några speciella värden är: |
||
Rad 66: | Rad 61: | ||
:<math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.</math> |
:<math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}.</math> |
||
==Derivata== |
==Derivata== |
||
En formel för [[derivata]]n av Dirichlets betafunktion för <math> \mathrm{Re} s > 0 </math> är |
En formel för [[derivata]]n av Dirichlets betafunktion för <math> \mathrm{Re} s > 0 </math> är |
||
Rad 85: | Rad 78: | ||
==Övriga formler== |
==Övriga formler== |
||
En [[dubbelintegral]] för Dirichlets betafunktion är |
En [[dubbelintegral]] för Dirichlets betafunktion är |
||
:<math>\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{[-\ln(xy)]^s}{1+x^2y^2}\mathrm dx\mathrm dy =\Gamma(s+2)\beta(s+2).</math> |
:<math>\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac{[-\ln(xy)]^s}{1+x^2y^2}\mathrm dx\mathrm dy =\Gamma(s+2)\beta(s+2).</math> |
||
== Referenser == |
== Referenser == |
Nuvarande version från 1 september 2024 kl. 03.33
Dirichlets betafunktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zetafunktion.
Definition
[redigera | redigera wikitext]Dirichlets betafunktion definieras som
En ekvivalent definition är
I båda fallen antas det att Re(s) > 0.
Dirichlets betafunktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zetafunktion:
En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:
som också göller för alla komplexa s.
Produktrepresentation
[redigera | redigera wikitext]Dirichlets betafunktion kan skrivas som en oändlig produkt för alla komplexa vars reella del är större än 1:
Funktionalekvation
[redigera | redigera wikitext]Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets betafunktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av
där Γ(s) är gammafunktionen.
Speciella värden
[redigera | redigera wikitext]Några speciella värden är:
där G är Catalans konstant;
där i exemplet ovan är polygammafunktionen. Mer allmänt gäller det för alla positiva heltal k:
där är Eulertalen. För heltal k ≥ 0 gäller
Derivata
[redigera | redigera wikitext]En formel för derivatan av Dirichlets betafunktion för är
Speciella värden är:
För alla positiva hltal gäller formeln:
Övriga formler
[redigera | redigera wikitext]En dubbelintegral för Dirichlets betafunktion är
Referenser
[redigera | redigera wikitext]- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet beta function, 11 november 2013.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Dirichletsche Betafunktion, 11 november 2013.