Dirichlets betafunktion

Dirichlets beta-funktion är en speciell funktion som är nära relaterad till Riemanns zeta-funktion.

Definition

Dirichlets beta-funktion definieras som

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}.$

En ekvivalent definition är

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.$

I båda fallen antas det att Re(s) > 0.

Dirichlets beta-funktion kan definieras för alla komplexa s med hjälp av Hurwitzs zeta-funktion:

$\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).$

En annan definition med hjälp av Lerchs transcendent är:

$\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),$

som också göller för alla komplexa s.

Functional equation

Med hjälp av funktionalekvationen för Dirichlets beta-funktion kan den definieras för Re(s)<0. Ekvationen ges av

$\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)$

där Γ(s) är gammafunktionen.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Catalan's constant, 11 november 2013.