Максимальний ідеал

Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

Властивості

Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал $I\,$ кільця $R\,$ максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце $R/I\,$ є простим кільцем.

Дійсно, якщо кільце

R/I\,

має власний ідеал

M\,

, то

I+M

буде власним ідеалом кільця

R\,

, що суперечить максимальності ідеалу

I\,

.

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу $\ I$ кільця $\ R$ існує максимальний ідеал кільця $\ R$ , який його містить.

Якщо елемент $a\,$ кільця $R\,$ не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент $a\,$ оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.

Якщо всі необоротні елементи кільця $R\,$ утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці $R\,$ немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці $R\,$ існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце $R\,$ називається локальним.

Для комутативного кільця ідеал $I\,$ є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.

Якщо кільце $\ R$ має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел $\mathbb {C}$ , фактор-кільце по максимальному ідеалу $\ R/I$ ізоморфне $\mathbb {C}$ . В цьому випадку ідеал $\ I$ визначає гомоморфізм кільця $\ R$ в полі $\mathbb {C}$ , ядром якого є ідеал $\ I$ .
Для кожного a існує єдина $\lambda _{a}$ , таке що $a-\lambda _{a}e\in I$ (e - одиниця алгебри R). Відповідність $a\to \lambda _{a}$ і є той самий гомоморфізм.

З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.

Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел

2\mathbb {Z}

ідеал

4\mathbb {Z}

є максимальним, проте

2\cdot 2=4,

хоч

2\notin 4\mathbb {Z} .

Приклади

У кільці цілих чисел $\mathbb {Z}$ максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебрично замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд $I_{a,b}=\{f\in k[X,Y]:f(a,b)=0\},\quad a,b\in k$ .
Кільце формальних степеневих рядів $k[[X]]$ над полем k — локальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
У кільці R = C[a, b] неперервних функцій із значеннями у множині дійсних чисел на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці $x\in [a,b]$ є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Якщо позначити

I_{x}=\{f\in R|f(x)=0\}

для деякої точки

x\in [a,b],

то I_x є ідеалом і фактор-кільце

R/I_{x}

є ізоморфним полю дійсних чисел, тож I_x є максимальним ідеалом.

Навпаки, якщо I є власним ідеалом кільця R = C[a, b], то множина

Z(I):=\bigcap _{f\in I}f^{-1}(\{0\})

є непустою, тобто існує точка

x\in [a,b]

для якої

f(x)=0

для всіх

f\in I.

Справді якщо Z(I) є пустою множиною, то

\{f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\}):f\in I\}

є відкритим покриттям [a, b] і через компактність відрізка можна вибрати скінченне підпокриття, наприклад для функцій

f_{i},\ 1\leqslant i\leqslant n.

Тоді функція

g(x)=\sum _{1=1}^{n}f(x)^{2}

належить I і в усіх точках [a, b] має ненульові значення. Оскільки

1/g\in C([a,b]),

то

1\in I

і I = R. Це суперечить припущенню, що I є власним ідеалом. Тому існує

x\in [a,b]

для якої

f(x)=0

для всіх

f\in I.

Тоді I є підідеалом ідеалу

I_{x}=\{f\in R|f(x)=0\},

який і є максимальним.

Кільця без максимальних ідеалів

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: : $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}$ де $a_{n}\in \mathbb {R}$ і $0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots$ дійсні числа для яких $\lim _{x\to \infty }\alpha _{n}=\infty$ .

Для ненульового такого ряду можна вважати $a_{n}\neq 0.$ Для $f=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}\in R$ де $0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots$ і $a_{1}\neq 0$ визначимо $\deg f=\alpha _{1}$ . Очевидно $\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g$ і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай $S=\mathbb {R} +R$ і $g\in R\setminus I$ . Визначимо $J=Sg$ . Тоді J є ідеалом R. Оскільки $\forall h\in J:\ \deg h\geq \deg g,$ то $J\neq R$ .

Отже J є власним ідеалом в R. Також $I\neq J$ оскільки $g\in J\setminus I$ . Нехай $f\in I$ . Якщо f = 0, тоді очевидно $f\in J$ . Розглянемо тепер $f\neq 0$ . Припустимо $\deg g>\deg f$ . Тоді ${\frac {g}{f}}\in R$ і звідси $g\in Rf\subseteq I$ , що суперечить визначенню g. Тому $\deg g\leq \deg f$ і звідси ${\frac {f}{g}}\in S$ . Отже $f\in Sg=J$ . Відповідно $I\subset J\subset R$ , що суперечить максимальності ідеалу $I$ . $\ \Box$