부선 표현

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

수학에서, Lie 그룹 G의 부선 표현(또는 부선 작용)은 그룹의 요소들을 벡터 공간으로 간주되는 그룹의 Lie 대수학의 선형 변환으로 표현하는 방법이다. For example, if G is ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$, the Lie group of real n-by-n invertible matrices, then the adjoint representation is the group homomorphism that sends an invertible n-by-n matrix ${\displaystyle g}$ to an endomorphism of the vector space of all linear transformations of ${\dis$$playstyle \mathb{R} ^{n}$에 의해$$ 정의됨: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$- 1 ${\$ x$\mapsto gxg^{-1$

어떤 Lie 그룹에 대해서도, 이 자연표현은 G의 작용을 선형화(즉, 결합에 의해 그 자체에 작용하는 것을 차등화)함으로써 얻어진다. 부호 표현은 임의의 필드 위에 있는 선형 대수 그룹에 대해 정의할 수 있다.

정의

G를 거짓말 그룹으로 하고

${\displaystyle \PSI :G\to \operatorname {Aut}(G)}$

지도화 g ↦ be이며_g, G (G)와 함께 G와 ψ_g: G → G (동화)의 자동모형 그룹이다.

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=gg^{-1}.}$

이 ψ은 거짓말 집단 동형상이다.

G의 각 G에 대해 AD를_g 원점에서 ψ의_g 파생상품으로 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g}_{e}):T_{e}G\오른쪽 화살표 T_{e}G}$

여기서 d는 미분이고 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle {\mathfak{g}}=$$T_{e}G}$는 원점 e(e는 그룹 G의 ID 요소임)의 접선 공간이다. $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 Lie 그룹 자동형이기 때문에 Ad는_g Lie 대수형 자동형, 즉 G ${\$을(를) Lie 괄호를 보존하는 자체로$$ 변환할 수 없는 선형 변환이다. 더욱이 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 집단동형이기 때문에$$ g ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {\mathrm{Ad}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$ $역시$ 집단동형이다.^[1] 그래서 지도는

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut}({\mathfrak {g}),\,g\mapsto \mathrmatrm {Ad} _{g}}}}}$

G의 부선표현이라 불리는 집단표현이다.

If G is an immersed Lie subgroup of the general linear group ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ (called immersely linear Lie group), then the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ consists of matrices and the exponential map is the matrix exponential ${\displays$$tyle \operatorname {exp}(X)=e^{X}}$ 작은 연산자 규범이 있는 행렬 X용. Thus, for g in G and small X in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, taking the derivative of ${\displaystyle \Psi _{g}(\operatorname {exp} (tX))=ge^{tX}g^{-1}}$ at t = 0, one gets:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=gXg^{-1}$

오른쪽에는 행렬의 산물이 있다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n\mathbb{}{}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle G\subset \mathrm$ {$GL} _{n}(\mathb {C} )}$이(가) 닫힌 부분군(즉, G는 매트릭스 거짓말 그룹)이면$$ 이 공식은 G의 모든 G와 ${\$ {$g}$의 모든 X에 유효하다$.$

간결하게, 부선 표현은 G의 아이덴티티 요소를 중심으로 G의 결합 작용과 연관된 동위원소 표현이다.

광고의 파생상품

어떤 사람은 항상 Lie 그룹 G의 표현에서 그 정체성의 파생물을 취함으로써 그 Lie 대수학의 표현으로 지나갈 수 있다.

부선지도의 파생상품 가져가기

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut}({\mathfak {g})}$

ID 요소에서 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( $){\displaystyle {\mathfrak{g}=\operatorname {Lie}(G)}$의 G:

${\displaystyle {\begin}\mathram {ad} :&\,{\mathfak {g}\der}({\mathfrak {g})\\\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\Ad})_{e(x)\end{liged}}}}$

where ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}$ is the Lie algebra of ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ which may be identified with the derivation algebra of ${\displaystyle {\ma$$thfrak{g$ 는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$

모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$에 대해, 벡터 필드의 Li bracket에 의해 오른손 쪽이 주어진다(유인). 실제로 ^[2]$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) G의 좌변량 벡터 필드의 Lie 대수학으로$$ 보고, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g}$에 있는$$ 브래킷을 X, Y,^[3]

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\t\to 0}{1 \over t}(d\barphi _{-t}(Y)-Y)}}$

여기서 $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:$$G\to G}$은 X에 의해 생성된 흐름을 나타낸다. 밝혀진 바와 같이, ${\displaystyle \phi }$ t${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\phi }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$( e${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}$ 대략적으로$,$ 양쪽이 흐름을 정의하는 동일한 ODE를 만족하기 때문이다. That is, ${\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}$ where ${\displaystyle R_{h}}$ denotes the right multiplication by ${\displaystyle h\in G}$. On the other hand, since ${\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}$, by chain rule,

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}\circle L_{g})(Y)=dR_{g^{g}=dR_{g^{-1}(Y)=dR_{g^{-1}}}$

Y가 좌불안정한 것처럼 그러므로,

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle {t_{}}_{}\underset{}{}}$→ 0 ${\displaystyle \underset{}{1}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{Ad}}_{}}$ ${\displaystyle {ad{}_{}}_{}}$ t${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( e${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle Y}$ )${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\$t\$to 0}{1 \over$ t$}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t(e$$Y)}-$Y)},}, , ,}, ,},

보여줘야 할 것 같아

따라서 ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 아래 Lie 대수학의 § Adjoint 표현에 정의된 것과 일치한다$$. 광고와 광고는 지수 지도를 통해 연관된다: 구체적으로는 거짓말 대수에서 모든 x에 대한 광고_exp(x) = exp(ad_x)이다.^[4] 지수 지도를 통한 Lie group과 Lie 대수 동음이의식과 관련된 일반적인 결과의 결과물이다.^[5]

G가 완전하게 선형적인 Lie 그룹인 경우 위의 계산은 단순화된다: 실제로 초기에 언급했듯이 ${\displaystyle {Ad}_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle Y}$)${\displaystyle }$= G ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ $따라서$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$ g$=e^{tX$ .

${\displaystyle {\mathrm{Ad}}_{}}$ ${\displaystyle {e{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {t^{}}_{}}$ ${\displaystyle {X^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle (Y}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle t^{}}$ ${\$

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$에서 파생된 것으로 보면 다음과 같다$.$

${\displaystyle {AD}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y}$= ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$- ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}$.

일반적인 경우는 선형 사례에서도 추론할 수 있다. 실제로 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) G와 같은 Lie 대수학을 가진 몰입형 선형 Lie 그룹이 되도록$$ 한다. 그런 다음 G에 대한 식별 요소에서 Ad의 파생상품과 G'에 대한 파생상품이 일치하므로 일반성을 상실하지 않고 G를 G'로 가정할 수 있다.

대문자/소문자 표기법은 문헌에 광범위하게 사용된다. 따라서 예를 들어 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 벡터 x는 G 그룹에서 벡터 필드 X를 생성한다$$. 마찬가지로, $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak{g}}$에서 벡터의 부선 지도 ady_x = [x,y]는 다지관으로 간주되는 그룹 G에서 벡터 필드의 LY_X = [X,Y]와 동일형이다^{[clarification needed]}.

지수 지도의 파생 모델을 자세히 살펴보십시오.

리 대수 부호 표현

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 어떤 분야에 걸쳐서 Lie 대수학으로$$ 삼아라. Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 요소 x를 지정하면 $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak$ {$g}$에 대한 x의 조정 동작을 지도로$$ 정의한다$.$

${\displaystyle \propername {ad} _{x}:{\mathfrak{g}\to {\mathfrak {g}\qquad {\text{with}\text}\qquad \cquad 이름 {ad} _{x}(y)=[x,y]}}}}}$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 모든 y에 대해$.$ 이를 부선 내형성 또는 부선작용이라고 한다.(${\displaystyle {ad}_{}}$ x$)$ {$ad} _{x})$ 또한 ad ${\displaystyle \mathrm{ad}(x}$) ${\displaystysty \opername {ad}(x}).$ 대괄호는 bilar)이기 때문에 선형 매핑을 결정한다$$.

${\displaystyle \operatorname {ad}:{\mathfak {g}\to \operatorname {End}({\mathfrak {g})}$

x ↦ 광고로_x 주어진다. End${\displaystyle }$(${\displaystyle g}$) ${\displaystyle({\mathfrak{g}})$ 내에서$,$ 브래킷은 정의에 따라 두 연산자의 정류자에 의해 주어진다.

$[T,S]=T\circle S-S\circ T}$

여기서 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$은(는) 선형 지도의 구성을 의미한다$$. 위의 브래킷 정의를 사용하여 자코비 아이덴티티

$(\displaystyle [x,[y,z]])+[y,[z,x]+[z,[x,y]=0}$

형체를 갖추다

${\displaystyle \left([\displaystyname {ad} _{x},\messagename {ad} _{y}\right)=\left(z)}$

여기서 x, y 및 z는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 임의 요소임$.$

이 마지막 정체성은 광고가 리 대수적 동형상, 즉 대괄호를 대괄호로 하는 선형 매핑이라고 말한다. 따라서 광고는 리 대수학의 표현이며 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부선 표현이라고 불린다$.$

If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is finite-dimensional, then End${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$ is isomorphic to ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$, the Lie algebra of the general linear group of the vector space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and if a basis 그것이 선택되기 때문에, 구성은 행렬 곱셈에 해당한다.

좀 더 모듈 이데아틱한 언어로, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 스스로 모듈이라고$$ 한다.

광고의 낟알은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 중심이다(그것은 정의만 바꾸어 놓은 것이다).$$ 한편, $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak{g$의 각 요소 z에 대해 선형 $매핑{\displaystyle }$ Δ =${\displaystyle {add}_{}}$ z$${\$displaystyle \delta$=\$operatorname {ad} _{z}$는 라이프니츠의 법칙에 따른다$$.

$[\displaystyle \properties([x,y])=[\cHB(x),y]+[x,\cHB(y)]}$

대수(자코비 정체성의 재작성)의 모든 x와 y에 대하여. 즉_z, 광고는 파생이고 광고 밑에$$ 있는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfak{g}}$의 이미지는 der${\displaystyle }$(${\displaystyle g\mathfrak{}}$ $){\displaystyle ({\mathfrak$${g$$\}\})$의 하위격으로, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$mathfak {$g}$의 모든 파생 공간이다$.$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ ${\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathfak$ {$g}=\operatorname {Lie}(G)}$이(가) Lie 그룹 G의 Lie 대수일 때, 광고는 G의 ID 요소에서 Ad의 차등이다(위의 #Adivative 참고).

라이프니즈 공식과 유사한 공식은 다음과 같다: 스칼라 $\alpha {\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$과(와) 리 $대수{\displaystyle \mathrm{원소}}$x , y , ${\displaystyle z}$ , z ${\displaystyle$ x$,y,z$

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z]}$.

구조물 상수

조정표현의 명시적 매트릭스 요소는 대수학의 구조 상수에 의해 주어진다. 즉, {eⁱ}을(를) 다음과 같은 대수의 기본 벡터 집합으로 한다.

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k^{c^{ij}_{k}e^{k}.}$

그_eⁱ 다음 광고의 매트릭스 요소는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\left[\putname {ad} _{e^{i}\오른쪽]_{k}^{j}={c^{ij}}_{k}.}$

따라서 예를 들어, su(2)의 부호적 표현은 so(3)의 정의적 표현이다.

예

• G가 차원 n의 아벨리안이라면 G의 부선 표현은 사소한 n차원 표현이다.
• If G is a matrix Lie group (i.e. a closed subgroup of GL(n,${\displaystyle \mathbb {C} }$)), then its Lie algebra is an algebra of n×n matrices with the commutator for a Lie bracket (i.e. a subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$). 이 경우 부선도는 Ad_g(x) = gxg로⁻¹ 주어진다.
• G가 SL(2, R)인 경우(결정인자 1이 있는 실제 2×2 행렬) G의 Lie 대수학(Lie 대수)은 트레이스 0이 있는 실제 2×2 행렬로 구성된다. 표현은 이항(즉, 2 변수) 2차 형태의 공간에 대한 선형 치환에 의해 G의 작용에 의해 주어진 것과 동등하다.

특성.

다음 표에는 정의에 언급된 다양한 맵의 속성이 요약되어 있다.

${\displaystyle \PSI \colon G\to \mathrm {Aut}(G)\,}$	${\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}$
거짓말 집단 동형성: ${\displaystyle \Psi _{g}=\Psi _{h}}$	거짓말 집단 자동형성: ${\displaystyle \PSI _{g}(ab)=\PSI _{g}(a)\Psi _{g}(b)}$ ${\displaystyle(\PSI _{g})^{-1}=\PSI _{g^{-1}$
${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut}({\mathfak {g})}$	${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}\to {\mathfrak {g}}}$
거짓말 집단 동형성: ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}=\mathrm {Ad} _{h}}$	Lie 대수 자동형: ${\displaystyle {\mathrm{A}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 선형이다$$. ${\displaystyle(\mathrm {Ad} _{g})^{-1}=\mathrm {Ad} _{g^{-1}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}[x,y]=[\mathrm {Ad} _{g}x,\mathrm {Ad} _{g}y]}$
${\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfak {g}\to \mathrm {Der}({\mathfrak {g})}$	${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\mathfak {g}\mathfrak {g}to {\mathfrak {g}}}$
거짓말 대수 동일성: ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\$가) 선형인$$ 경우 ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}$	Lie 대수 유도: ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 선형이다$$. ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}z]}$

부선 표현 하의 G의 이미지는 Ad(G)로 표시된다. G가 연결된 경우, 조정표현의 커널은 G의 중심일 뿐인 ψ의 커널과 일치한다. 그러므로 연결된 Lie 그룹 G의 부선 표현은 G가 중심이 없는 경우에만 충실하다. 보다 일반적으로 G가 연결되지 않으면, 조정 맵의 커널은 G의 정체성 성분 G의₀ 중심이다. 첫 번째 이형성 정리로는 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle \mathrm {Ad}(G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

Given a finite-dimensional real Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, by Lie's third theorem, there is a connected Lie group ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ whose Lie algebra is the image of the adjoint representation of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (i.e., ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$${\displaystyle \operatorname {Lie}(\operatorname {Int}({\mathfrak {g})))$$=\\operatorname {ad}({\mathfrak$ {$g}})$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfak {g}$의 조정 그룹이라고 한다$.$

Now, if ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is the Lie algebra of a connected Lie group G, then ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ is the image of the adjoint representation of G: ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$.

Semisimple Lie 그룹의 루트

G가 반이행되면, 부선표현의 0이 아닌 가중치가 루트 체계를 형성한다.^[6] (일반적으로 진행하기 전에 Lie 대수학의 복잡화로 넘어가야 한다.) 이 방법이 어떻게 작동하는지 보려면 사례 G = SL(n, R)을 고려하십시오. 우리는_1n 대각선 행렬의 그룹을 우리의 최대 토러스 T로 받아들일 수 있다. T 전송 요소별 결합

${\displaystyle{\begin{bmatrix}a_{11}&, a_{12}&, \cdots &, a_{1n}\\a_{21}&, a_{22}&, \cdots, a_{2n}\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\a_{n1}& &, a_{n2}&, \cdots &, a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto{\begin{bmatrix}a_{11}&, t_{1}t_{2}^{)}a_{12}&, \cdots &, t_{1}t_{n}^{)}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{)}a_{21}&, a_{22}&, \.Cdots, t_{2}t_{n}^{)}a_{2n}\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\t_{n}&.t_{1}^{1}^{-1}a_{n1}t_{n}t_{2}^{-1a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\end{bmatrix}}}.}$

따라서 T는 G의 Lie 대수 대각선 부분과 여러 가지 비대각 입구에서 고유 벡터 tt와_ij⁻¹ 함께 사소한 작용을 한다. G의 뿌리는 역기(t₁, ..., t_n) → tt이다_ij⁻¹. 이것은 e-e_ij 형식의 벡터 집합으로서 G = SL_n(R)의 루트 시스템에 대한 표준 설명을 설명한다.

예제 SL(2, R)

가장 단순한 Lie Group의 경우 중 하나에 대한 루트 시스템을 계산할 때 결정 인자 1이 있는 2차원 행렬의 그룹 SL(2, R)은 다음과 같은 형태의 행렬 집합으로 구성된다.

${\displaystyle {\bmatrix}a&b\c&d\\end{bmatrix}}$

a, b, c, d real 및 ad-bc = 1과 함께.

아벨리안 리 하위그룹과 연결된 최대 콤팩트(maximal compact) 또는 최대토러스 T는 양식의 모든 행렬의 하위 집합에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}$

$t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t_{1}t_{2}=1$ Maximal torus의 Lie 대수학(Lie 대수학)은 행렬로 구성된 카르탄 아발지브라(Cartan subalgebra)이다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

우리가 얻는 최대 토러스 원소에 의해 SL(2, R)의 원소를 결합하면

${\displaystyle{\begin{bmatrix}t_{1}&, 0\\0&, 1{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&, b\\c&, d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1{1}&, 0\\0&, t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&, bt_{1}\\c{1}&, d{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1{1}&, 0\\0&, t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&, bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&, d\\\end{bmatrix}}}$

매트릭스

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

그런 다음 $고유값{\displaystyle \mathrm{}1}$,${\displaystyle }$1, ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}^{}}$1 - ${\displaystyle 2_{}^{}}${\$displaystyle$1,$1,t_{1}^{2},$ t_{1}^{1}^{$1$ $t_{$1}^{-2$}}.$ $t{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$을 부여하는 λ 함수는 그룹의$$ torus에서 기초 필드 R에 이르는 동형성, 또는 동형성이다. 함수 λ giving θ은 행렬의 경간에 의해 주어지는 무게 공간을 가진 Lie Agebra의 중량이다.

캐릭터의 곱셈성과 무게의 선형성을 보여주는 것이 만족스럽다. λ의 미분을 이용하여 가중치를 발생시킬 수 있음을 더욱 증명할 수 있다. SL(3, R)의 경우를 고려하는 것도 교육적이다.

변형 및 아날로그

부선 표현은 또한 모든 분야에 걸친 대수적 그룹에 대해 정의될 수 있다.^{[clarification needed]}

공동직위표현(co-adjoint presentation)은 부직위표현에 대한 반대표현이다. 알렉상드르 키릴로프는 공칭 표현에서 어떤 벡터의 궤도가 복합적인 다지관이라고 관찰했다. 궤도 방법(키릴로프 문자 공식 참조)으로 알려진 표현 이론의 철학에 따르면, 리 그룹 G의 불가해한 표현은 그 공동 적응 궤도에 의해 어떤 식으로든 색인화되어야 한다. 이 관계는 영약 리 그룹의 경우에 가장 가깝다.

메모들

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.