원자패킹계수

결정학에서 원자 패킹 계수(APF), 패킹 효율성 또는 패킹 분율은 구성 입자가 점유하는 결정 구조에서 부피 분율이다. 그것은 차원 없는 양이고 항상 통일보다 적다. 원자 시스템에서 관례에 따라 APF는 원자가 경직된 구라고 가정함으로써 결정된다. 구들의 반지름은 원자가 겹치지 않도록 최대값으로 간주된다. 1성분 결정(한 종류의 입자만 포함하는 결정)의 경우, 패킹 비율은 다음과 같이 수학적으로 표현된다.

\mathrm {APF} ={\frac {N_{\mathrm {particle}{{\mathrm {particle}}}{V_{\text{unit cell}}}}}}}}

여기서 N은_particle 단위 셀의 입자 수, V는_particle 각 입자의 부피, V는_{unit cell} 단위 셀이 점유한 부피다. 1성분 구조물의 경우, 원자의 가장 밀도가 높은 배열은 근접 포장 구조물에 의해 얻은 약 0.74의 APF(케플러 추측 참조)를 갖는다는 것이 수학적으로 증명될 수 있다. 다중 구성요소 구조(예: 중간합금)의 경우 APF는 0.74를 초과할 수 있다.

단위 세포의 원자 포장 인자는 물질의 많은 성질을 설명하는 물질 과학의 연구와 관련이 있다. 예를 들어, 원자 포장 인자가 높은 금속은 더 높은 "작업성"(유연성 또는 연성)을 갖게 될 것이며, 이는 돌이 더 가까이 있을 때 길이 더 부드러워져 금속 원자가 서로 더 쉽게 미끄러져 지나갈 수 있게 하는 것과 유사하다.

단일 구성 요소 결정 구조

원자 시스템에 의해 취해지는 공통적인 구체 패킹은 해당 패킹 비율과 함께 아래에 나열되어 있다.

육각형 근접 포장(HCP): 0.74^[1]
얼굴 중심 입방체(FCC): 0.74^[1](입방형 클로즈패킹, CCP라고도 함)
신체중심 입방체(BCC): 0.68^[1]
심플 큐빅: 0.52^[1]
다이아몬드 입방체: 0.34

대부분의 금속은 HCP, FCC 또는 BCC 구조 중 하나를 차지한다.^[2]

단순입방단위세포

심플 큐빅

단순한 입방 패킹의 경우 단위 셀당 원자의 수는 1이다. 단위 셀의 옆면은 길이가 2r이고, 여기서 r은 원자의 반지름이다.

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {1\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left(2r\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{6}}\약 0.5236\end{arged}}

얼굴 중심 큐빅

FCC 구조

얼굴 중심의 입방 단위 셀의 경우 원자의 수는 4개다. 입방체의 상단 모서리에서 대각선으로 같은 면의 하단 모서리로 4r와 같은 선을 그릴 수 있다. 지오메트리 및 측면 길이를 사용하여 a는 다음과 같이 r과 관련될 수 있다.

a={2r}{\sqrt{2}}\,

이것과 구의 부피에 대한 공식을 알면 다음과 같이 APF를 계산할 수 있게 된다.

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {4\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left({2r{\sqrt {2}}}\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi {\sqrt{2}}:{6}}\약 0.740\,16448\\\end{aigned}}}

체중심입방체

BCC 구조

신체 중심의 입방결정 구조를 위한 원시 단위 셀은 9개의 원자(결정 속의 입자가 원자일 경우)에서 추출한 여러 개의 분수를 포함한다. 즉, 입방체의 각 모서리에 하나씩, 중앙에 있는 하나의 원자. 8개의 모서리 원자의 각 부피는 인접한 8개의 셀 사이에 공유되기 때문에, 각 BCC 셀은 두 개의 원자(중앙과 모서리의 1개)의 등가 부피를 포함한다.

각 모서리 원자는 중심 원자에 닿는다. 입방체의 한 구석에서 중앙을 거쳐 다른 구석으로 이어지는 선은 4r를 통과하는데, 여기서 r은 원자의 반지름이다. 기하학적으로 대각선 길이는 a√3이다. 따라서 BCC 구조의 각 측면의 길이는 다음과 같이 원자의 반지름과 관련될 수 있다.

a={\frac {4r}{\sqrt{3}}\,

이것과 구의 부피에 대한 공식을 알면 다음과 같이 APF를 계산할 수 있게 된다.

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {2\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\left({\frac {4r}{\sqrt {3}}}\right)^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi {\sqrt{3}}{8}}\약 0.680\,1969\,762\,\end{정렬}}

육각형 근접포장

HCP 구조

육각형 근접 포장 구조물의 경우 유도도 유사하다. 여기서 단위 세포(원시 단위 세포 3개와 동일)는 6개의 원자(결정 속의 입자가 원자일 경우)를 포함하는 육각 프리즘이다. 실제로 3개의 원자는 중간층(프리즘 내부)에 있는 원자인데, 덧붙여 상단층과 하단층(프리즘의 기저에 있는)에 대해서는 중앙 원자를 인접한 셀과 공유하며, 정점에 있는 6개의 원자는 각각 다른 5개의 인접한 셀과 공유한다. 그래서 세포 내 원자의 총수는 3 + (1/2)×2 + (1/6)×6×2 = 6. 각 원자는 다른 12개의 원자에 닿는다. $a\$ 프리즘 베이스의 측면 길이가 ${\$ $displaystyle a\ }$ 이고 $a\$ , c {\ $displaystyle$ c $\}이($ 가) 높이가 되도록 $c\$ 한다. 후자는 인접한 층들 사이의 거리, 즉 정점이 낮은 층의 중심 원자와 같은 층의 인접한 비중심 원자 2개, 그리고 앞의 세 개에서 중간 층의 원자 1개가 "휴식"하는 정상 4면체 높이의 2배이다. Obviously, the edge of this tetrahedron is $a\$ . If $a=2r\$ , then its height can be easily calculated to be ${\sqrt {\tfrac {8}{3}}}a\$ , and, therefore, $c=4{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}r\$ . So the volume of thcp 단위 셀은 (3/2)√3 $a^{2}c\$ $a^{2}c\$ c ${\$ a $^{2}c\},$ 즉 24x2 $r^{3}\$ 3 $displaystyle r^{3}\$ $}$ 인 것으로 밝혀졌다.

그 다음 APF를 다음과 같이 계산할 수 있다.

{\begin{aligned}\mathrm {APF} &={\frac {N_{\mathrm {atoms} }V_{\mathrm {atom} }}{V_{\text{unit cell}}}}={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}c}}\\[10pt]&={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}(2r)^{2}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot 4r}}={\frac {6\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot 16r^{3}}}\\[10pt]&={\frac {\pi }{\sqrt{18}}={\frac {\pi }{3{\sqrt{}}}}}}}\약 0.740\,190\,48\,\end{aged}}}}}}

참고 항목

참조

^ Jump up to: ^a ^b ^c ^d Ellis, Arthur B.; et al. (1995). Teaching General Chemistry: A Materials Science Companion (3rd ed.). Washington, DC: American Chemical Society. ISBN 084122725X.
^ Moore, Lesley E.; Smart, Elaine A. (2005). Solid State Chemistry: An Introduction (3rd ed.). Boca Raton, Florida: Taylor & Francis, CRC. p. 8. ISBN 0748775161.

추가 읽기

Schaffer; Saxena; Antolovich; Sanders; Warner (1999). The Science and Design of Engineering Materials (2nd ed.). New York, NY: WCB/McGraw-Hill. pp. 81–88. ISBN 978-0256247664.
Callister, W. (2002). Materials Science and Engineering (6th ed.). San Francisco, CA: John Wiley and Sons. pp. 105–114. ISBN 978-0471135760.

[Ellis-1] Jump up to: ^a ^b ^c ^d Ellis, Arthur B.; et al. (1995). Teaching General Chemistry: A Materials Science Companion (3rd ed.). Washington, DC: American Chemical Society. ISBN 084122725X.

[2] Moore, Lesley E.; Smart, Elaine A. (2005). Solid State Chemistry: An Introduction (3rd ed.). Boca Raton, Florida: Taylor & Francis, CRC. p. 8. ISBN 0748775161.

[1]

[2]

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