스피어패킹

Sphere packing
스피어 패킹은 포탄 적층 시 실용적 활용을 발견함

기하학에서 구체 패킹은 포함된 공간 내에 겹치지 않는 구를 배열한 것이다. 고려된 구들은 대개 모두 동일한 크기이며, 공간은 보통 3차원 유클리드 공간이다. 그러나 구면 포장 문제는 불평등한 구면, 다른 차원의 공간(문제가 2차원의 원 패킹이 되는 경우 또는 더 높은 차원의 하이퍼스피어 패킹)이나 쌍곡선 공간과 같은 비유클리드 공간을 고려하도록 일반화할 수 있다.

전형적인 구포 포장 문제는 구가 가능한 한 많은 공간을 채우는 배치를 찾는 것이다. 구가 채운 공간의 비율을 배열의 밀도라고 한다. 무한 공간에서의 패킹의 국소 밀도는 측정되는 부피에 따라 달라질 수 있기 때문에, 문제는 대개 충분히 큰 부피에 걸쳐 측정한 평균 또는 점근 밀도를 최대화하는 것이다.

3차원의 동일한 구에 대해 가장 밀도가 높은 패킹은 부피의 약 74%를 사용한다. 같은 구의 랜덤 패킹은 일반적으로 약 64%의 밀도를 가진다.

분류 및 용어

격자 배열(일반적으로 정규 배열이라고 함)은 구체의 중심들이 매우 대칭적인 패턴을 형성하는 것으로, 고유하게 정의될 벡터만 필요하다(n-차원 유클리드 공간). 격자 배열은 주기적이다. 구가 격자를 형성하지 않는 배열(흔히 불규칙하다고 함)은 여전히 주기적일 수 있지만, 주기적(적당하게 말하면 비주기적) 또는 무작위일 수도 있다. 대칭도가 높기 때문에 격자 패킹은 격자가 아닌 패킹보다 분류하기가 쉽다. 주기적인 격자는 항상 밀도가 잘 정의되어 있다.

정규포장

평면에서 동일하지 않은 구(버블스)의 불규칙한 배열로 변하는 평면의 균일한 구들의 규칙적인 배열.
HCP 격자(왼쪽)와 FCC 격자(오른쪽)는 가장 일반적인 두 가지 최고 밀도 약정이다.
구로 만든 평면 3개를 쌓는 두 가지 방법

밀도 패킹

주요 기사: 동구 근접포장

3차원 유클리드 공간에서, 동등한 구체의 가장 밀도가 높은 패킹은 클로즈-패킹 구조라고 불리는 구조물의 계열에 의해 달성된다. 그러한 구조를 생성하는 한 가지 방법은 다음과 같다. 구가 촘촘히 배열된 평면을 생각해 보라. A라고 불러라. 세 개의 인접한 구에 대해 네 번째 구를 세 개의 아래쪽 구 사이의 빈 공간에 배치할 수 있다. 첫 번째 평면 위의 두 번째 평면에 있는 구멍의 절반에 대해 이렇게 하면, 우리는 새로운 소형 층을 만든다. 이것을 하기 위해서는 B와 C라고 부르는 두 가지 가능한 선택이 있다. 우리가 B를 선택했다고 가정해보자. 그러면 B의 공 가운데 절반은 A의 공 가운데 위에 있고 나머지 절반은 B의 공에 사용되지 않은 A의 공 가운데 위에 있다. 따라서 세 번째 층의 볼은 첫 번째 층의 볼 바로 위에 위치하거나, 두 번째 층이 차지하지 않은 첫 번째 층의 구멍 위에 위치하여 C 유형의 층을 산출할 수 있다. A형, B형, C형의 층을 조합하면 다양한 밀접하게 포장된 구조물이 생성된다.

빽빽이 들어찬 가족 내의 두 가지 간단한 배열은 일반 선반에 해당한다. 하나는 큐빅 클로즈 패킹(또는 얼굴 중심 큐빅, "FCC")이라 불리며, 여기서 층은 ABCABC... 순서에 따라 번갈아 배치된다. 다른 하나는 육각형 근접 패킹("HCP")이라 불리며, 여기서 층은 ABAB... 순서에 따라 번갈아 배치된다. 그러나 많은 레이어 쌓기 시퀀스(ABAC, ABCBA, ABCBAC 등)가 가능하며, 여전히 촘촘하게 포장된 구조를 생성한다. 이 모든 배열에서 각 구는 12개의 이웃 구에 닿으며,[1] 평균 밀도는

칼 프리드리히 가우스는 1831년에 이 패킹들이 가능한 모든 격자 패킹들 중에서 가장 높은 밀도를 가지고 있다는 것을 증명했다.[2]

1611년 요하네스 케플러는 이것이 정규 및 불규칙적인 배치들 사이에서 가능한 최대 밀도라고 추측했다. 이것은 케플러 추측으로 알려지게 되었다. 1998년 토마스 칼리스터 할레스는 1953년 라슬로 페제스 토스가 제안한 접근법에 따라 케플러 추측에 대한 증거를 발표했다. Hales의 증거는 복잡한 컴퓨터 계산을 사용하여 많은 개별적인 사례들을 확인하는 것을 포함한 피로에 의한 증거다. 심판들은 그들이 할리스의 증거의 정확성에 대해 "99% 확신"한다고 말했다. 2014년 8월 10일, Hales는 자동화된 증명 검사를 사용한 공식적인 증명서의 완료를 발표하여, 어떠한 의심도 없앴다.[3]

기타 공통 격자 패킹

일부 다른 격자 패킹은 종종 물리적 시스템에서 발견된다. These include the cubic lattice with a density of , the hexagonal lattice with a density of and the tetrahedral lattice with a density of 3}}{ 그리고 0.0555의 밀도로 가장 느슨하게 할 수 있다.[4]

밀도가 낮은 패킹 걸림

모든 구가 이웃에 의해 한 장소에 머무르도록 제약을 받는 패킹을 강성 또는 걸림이라고 한다. 밀도가 가장 낮은 엄격히 걸린 구체 패킹은 0.49365에 불과한 희석("터널") FCC 결정이다.[5]

불규칙 패킹

주요 기사: 랜덤 클로즈 팩

우리가 빽빽하게 채워진 구들의 컬렉션을 만들려고 하면, 우리는 언제나 다음 구를 세 개의 꽉 찬 구들 사이의 빈 공간에 놓고 싶은 유혹을 받게 될 것이다. 이렇게 다섯 개의 구를 조립하면 위에서 설명한 규칙적으로 포장된 배열 중 하나와 일치하게 된다. 그러나 이런 식으로 배치된 여섯 번째 구체는 구조가 어떤 규칙적인 배열과 일관성이 없게 만들 것이다. 이는 압축에 대해 안정된 구를 무작위로 근접 포장할 가능성을 초래한다.[6] 임의의 느슨한 패킹의 진동은 구면 입자를 일반 패킹으로 배열하는 결과를 초래할 수 있는데, 이는 세분화된 결정화라고 알려진 과정이다. 그러한 과정은 구형 알갱이를 고정하는 용기의 기하학적 구조에 따라 달라진다.[1]

구를 용기에 무작위로 추가한 다음 압축할 때 일반적으로 더 이상 압축할 수 없을 때 "비정규" 또는 "걸림" 패킹 구성을 형성한다. 이 불규칙한 포장재는 일반적으로 약 64%의 밀도를 가질 것이다. 분석적으로 보면 밀도 한계 [7]63.4%를 넘을 수 없다는 예측이 나온다.이 상황은 1차원 또는 2차원 구체(즉, 선분할이나 원)의 집합체를 압축하면 일정한 패킹이 발생하는 1차원 또는 2차원의 경우와 다르다.

하이퍼스피어 패킹

구체 패킹 문제는 임의의 차원에서 볼패킹 문제의 한 부류의 3차원 버전이다. 2차원에서 동등한 문제는 평면에 원들을 포장하는 것이다. 한 차원에서는 선분할을 선형 우주로 포장하고 있다.[8]

3보다 큰 치수는 최대 8차원까지 알려진 가장 밀도가 높은 일반 패킹이다.[9] 불규칙한 하이퍼스피어 패킹에 대해서는 거의 알려져 있지 않다; 어떤 면에서는 가장 밀도가 높은 패킹이 불규칙할 수 있다. 이러한 추정에 대한 일부 지지는 특정 치수(예: 10)에서 가장 밀도가 높은 불규칙 패킹이 가장 밀도가 높은 일반 패킹보다 밀도가 높다는 사실에서 비롯된다.[10]

2016년 메리나 비아조프스카는 E8 격자가 8차원 공간에서 (정규성과 무관하게) 최적의 패킹을 제공한다는 증거를 발표했고,[11] 곧이어 그녀와 협력자 그룹이 24차원에서도 리치 격자가 최적이라는 비슷한 증거를 발표했다.[12] 이 결과는 이 두 격자가 최적치에 매우 가깝다는 것을 보여주는 이전의 방법에 기초하고 개선되었다.[13] 새로운 증명에는 신중하게 선택된 모듈 함수의 라플라스 변환을 사용하여 f와 fourier 변환 f both 둘 다 원점에서 동일한 f̂과 최적 격자의 모든 다른 지점에서 사라지게 하고 패킹의 중심 영역 바깥에서 f 음과 f̂ 양성으로 방사되는 방사상 대칭 함수 f를 구성한다. 그런 다음, f에 대한 포아송 합산식을 사용하여 최적 격자 밀도와 다른 포장 밀도를 비교한다.[14] 그 증거가 공식적으로 검토되고 출판되기 전에 수학자 피터 사르낙은 그 증거를 "놀라울 정도로 단순하다"고 말하며 "당신은 단지 신문을 읽기 시작할 뿐이고 이것이 옳다는 것을 알고 있다"[15]고 썼다.

고차원의 또 다른 연구는 가장 밀도가 높은 패킹의 밀도에 대해 점증적 한계를 찾으려고 노력하고 있다. 2017년 현재, large n의 경우 치수 n에서 가장 밀도가 높은 격자는 cn cn 2−n (일부 상수 c의 경우)와 2 사이의−0.599n 밀도를 갖는 것으로 알려져 있다.[16] 추측의 경계가 그 사이에 있다.[17]

불평등구포장

참고 항목: 불평등원패킹
반지름 비율이 0.64799이고 밀도가 0.74786인[18] 구의 밀도 패킹

화학 및 물리 과학의 많은 문제들은 둘 이상의 구면 크기를 사용할 수 있는 포장 문제와 관련될 수 있다. 여기서 구를 밀접하게 포장된 동등한 구의 영역으로 분리하거나, 여러 크기의 구를 복합체 또는 중간 패킹으로 결합하는 것 중에서 선택할 수 있다. 여러 가지 크기의 구(또는 분포)를 이용할 수 있게 되면, 문제는 금방 난해해지지만, 이항 경구(2개 크기)에 대한 연구도 가능하다.

두 번째 구가 첫 번째 구보다 훨씬 작을 때 큰 구들을 촘촘하게 배열한 다음, 팔면 간격과 사면 간격 내에 작은 구들을 배열하는 것이 가능하다. 이 중간 패킹의 밀도는 반지름 비율에 따라 민감하게 달라지지만, 극한 크기 비율의 한계에서는 작은 구가 채워진 공간이 더 큰 구와 같은 밀도로 공백을 메울 수 있다.[19] 큰 구들이 촘촘하게 배열되어 있지 않더라도, 큰 구의 반지름 0.29099까지의 작은 구들을 삽입하는 것은 언제나 가능하다.[20]

더 작은 구의 반경이 더 큰 구의 반경의 0.41421보다 크면 더 이상 촘촘한 구조의 팔면 구멍에도 들어갈 수 없게 된다. 그러므로 이 점을 넘어서서 호스트 구조는 (전체 밀도를 훼손하는) 중간을 수용하도록 확장되어야 하거나, 또는 보다 복잡한 결정 복합 구조로 재배열되어야 한다. 최대 0.659786까지 반경 비율에 대한 근접 패킹 밀도를 초과하는 구조물이 알려져 있다.[18][21]

이러한 이항 패킹에서 얻을 수 있는 밀도에 대한 상한도 얻었다.[22]

이온 결정과 같은 많은 화학적 상황에서 스토이치측정법은 구성 이온의 전하에 의해 제약을 받는다. 이와 같이 패킹에 대한 추가적인 제약조건과 상호작용하는 전하들의 쿨롱 에너지를 최소화해야 하는 필요성은 최적의 패킹 배열의 다양성으로 이어진다.

쌍곡선 공간

비록 원과 구의 개념이 쌍곡 공간까지 확장될 수 있지만, 가장 밀도가 높은 패킹을 찾는 것은 훨씬 더 어려워진다. 쌍곡선 공간에서는 다른 구를 둘러쌀 수 있는 구의 수에 제한이 없다(예를 들어 포드 서클은 각 원이 무한한 수의 다른 원에 둘러싸여 있는 동일한 쌍곡선 원들의 배열이라고 생각할 수 있다). 평균 밀도의 개념도 정확히 정의하기가 훨씬 어려워진다. 쌍곡선 공간에서 가장 밀도가 높은 패킹은 거의 항상 불규칙하다.[23]

이러한 어려움에도 불구하고 K. Böröczky는 n ≥ 2가 있는 쌍곡선 n-공간의 구체 패킹 밀도에 대해 범용 상한을 부여한다.[24] 3차원에서 Böröczky 바운드는 약 85.327613%이며, Schléfli 기호 {3,3,6}[25]이(가) 있는 주문-6 사면 벌집의 호스피어 패킹에 의해 실현된다. 이 구성 외에도 밀도 상한선을 실현하는 쌍곡선 3-공간에는 최소 3개의 다른 호스피어 패킹이 존재하는 것으로 알려져 있다.[26]

터치 페어, 트리플트, 쿼드러플

단위 공의 임의 유한 패킹의 접촉 그래프는 정점이 패킹 요소에 해당하고 해당 두 패킹 요소가 서로 접촉할 경우 두 정점이 에지로 연결된 그래프다. 접촉 그래프의 가장자리 세트의 카디널리티는 접촉 쌍의 수를, 접촉 그래프의 3주기 수는 접촉 세 쌍의 수를, 접촉 그래프의 사면체 수는 접촉 네 쌍의 수를 나타낸다(일반적으로 n 치수의 구체 패킹과 연관된 접촉 그래프의 경우). 접촉 그래프에서 n-점수 집합의 카디널리티는 구체 패킹에서 터치(n + 1)-tule의 수를 제공한다. 3차원 유클리드 공간의 경우 캘거리 대학의 카롤리 베즈덱과 사무엘 레이드에 의해 터치 페어, 트리플트, 쿼드러플[27] 수에 대한 비교 상한이 증명되었다.

구간의 접점 수를 최대화하는 n개의 동일한 구들의 배열을 찾는 문제는 "sticky-sphere 문제"로 알려져 있다. 최대값은 n ≤ 11로 알려져 있으며, 추측 값만 더 큰 n으로 알려져 있다.[28]

기타공간

하이퍼큐브의 모서리에 있는 구체 패킹(해밍 거리에 의해 정의되는 구체 포함)은 오류 수정 코드 설계에 해당한다. 구가 반경 t를 가지고 있다면, 그 중심은 a(2t + 1)-오류 수정 코드의 코드 워드일 것이다. 격자 패킹은 선형 코드에 해당한다. 유클리드 구체 패킹과 오류 수정 코드 사이에는 다른 미묘하게 관계가 있다. 예를 들어, 이진 골레이 코드는 24차원 리치 격자와 밀접한 관련이 있다.

이러한 연결에 대한 자세한 내용은 Conway 및 Sloane별 Spoe Packing, Lattice 및 Groups by Conway 및 Sloane 책을 참조하십시오.[29]

참고 항목

참조

  1. ^ a b 진동 패킹의 세밀한 결정. Granular Matter(2019), 21(2), 26개의 HAL 아카이브 오버스
  2. ^ Gauß, C. F. (1831). "Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw" [Discussion of L. A. Seeber's book: Studies on the characteristics of positive ternary quadratic forms etc]. Göttingsche Gelehrte Anzeigen.
  3. ^ "Long-term storage for Google Code Project Hosting". Google Code Archive.
  4. ^ "Wolfram Math World, Sphere packing".
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  6. ^ Chaikin, Paul (June 2007). "Random thoughts". Physics Today. American Institute of Physics. 60 (6): 8. Bibcode:2007PhT....60f...8C. doi:10.1063/1.2754580. ISSN 0031-9228.
  7. ^ Song, C.; Wang, P.; Makse, H. A. (29 May 2008). "A phase diagram for jammed matter". Nature. 453 (7195): 629–632. arXiv:0808.2196. Bibcode:2008Natur.453..629S. doi:10.1038/nature06981. PMID 18509438. S2CID 4420652.
  8. ^ Griffith, J.S. (1962). "Packing of equal 0-spheres". Nature. 196 (4856): 764–765. Bibcode:1962Natur.196..764G. doi:10.1038/196764a0. S2CID 4262056.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Hypersphere Packing". MathWorld.
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  14. ^ 비아조프스카의 공동저자 중 한 명이 새로운 증거를 설명하는 비디오Miller, Stephen D. (4 April 2016), The solution to the sphere packing problem in 24 dimensions via modular forms, Institute for Advanced Study, archived from the original on 21 December 2021.
  15. ^ Klarreich, Erica (30 March 2016), "Sphere Packing Solved in Higher Dimensions", Quanta Magazine
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참고 문헌 목록

외부 링크

쌍곡선 공간의 패킹에 대한 비기술적인 개요.