멀티모달 배포

통계학에서 다중 모달 분포는 두 개 이상의 모드가 있는 확률 분포입니다.그림 1과 그림 2에서와 같이 확률 밀도 함수의 개별 피크(국소 최대값)로 나타난다.범주형, 연속형 및 이산형 데이터는 모두 다중 모형 분포를 형성할 수 있습니다.일변량 분석에서 다중 모달 분포는 일반적으로 ^{[citation needed]}이변량 분포입니다.

용어.

두 모드가 동일하지 않을 경우 큰 모드는 줄자모드라고 불리며 다른 모드는 마이너모드라고 불립니다모드 간의 빈도가 가장 낮은 값을 안티모드라고 합니다.주 모드와 부 모드의 차이를 진폭이라고 합니다.시계열에서 주모드는 고소분해효소, 안티모드는 ^{[citation needed]}바티파아제라고 불린다.

갈퉁 분류

Galtung은 ^[1]유통을 위한 분류 시스템(AJUS)을 도입했습니다.

• A: 단일한 분포– 중간 피크
• J: 유니모달– 양쪽 끝의 피크
• U: 바이모달– 양 끝에 피크
• S: 바이모달 또는 멀티모달– 여러 피크

이 분류는 이후 약간 수정되었습니다.

• J: (수정)– 우측 피크
• L: 유니모달– 왼쪽 피크
• F: 피크 없음(평탄)

이 분류에서는 이원 분포가 유형 S 또는 U로 분류된다.

예

쌍모달 분포는 수학과 자연과학 모두에서 발생합니다.

확률 분포

중요한 이원 분포에는 아크신 분포와 베타 분포가 포함됩니다(두 모수가 모두 1 미만인 경우).그 외의 예로는 U-사분포가 있습니다.

두 정규 분포의 비율도 이원 분포입니다.허락하다

${\displaystyle R=sysfrac {a+x}{b+y}}$

여기서 a와 b는 상수이고 x와 y는 평균이 0이고 표준 편차가 1인 정규 변수로 분포됩니다. R은 합류 초기하 ^[2]함수로 표현될 수 있는 알려진 밀도를 가집니다.

는 t의 역수의 분폴 때 자유의도 이상 그 중 하나이다 확률 변수 bimodal 분산되다.마찬가지로 일반적으로 분산 변수의 역수 또한 bimodally 분포되어 있다.

At 있는 통계 데이터 설정된 코시 분포로부터에서 생성된 이정이다.[3]

자연 발생

바이모달 분포와 변수의 예는 특정한 간헐 온천의 폭발, 은하계의 색, 노동자 weaver 개미, 호지킨 림프종, 미국 성인들 사이에서 마약 isoniazid, novae의 절대 크기, 그리고 그 crepusc의 24시간 주기 활동 패턴을 불활성화의 속도의 발병의 나이의 크기 사이의 시간을 포함한다.아침과 저녁 박명 둘 다에 적극적이다 Ular 동물이다.어업 과학에서는 복합 길이 분포와 따라서 나이 distribution-고 물고기 개체 수의 전망치에 사용될 수 있는 여러 해 수업을 반영한다.[4]침전물은 보통 한 바이모달 패션에서 배포됩니다.언제 채굴 갤러리는 호스트 바위와 무기물을 함유한 정맥을 건너고 샘플링, 지구 화학적 변수들의 분포 이정 것이다.Bimodal하는 것은 또한 교통 분석에 따르면, 보인다 어디는 AM출퇴근 시간대고 다시 오후 러시 아워 교통.이 현상은 매일 물 분배에, 물 수요로, 샤워기, 요리, 화장실 사용의 형태로, 일반적으로 아침과 저녁에 최고점에 도달한다 볼 수 있다.

계량경제학

계량경제학 모형에서는 모수가 쌍방향으로 ^[5]분포될 수 있습니다.

오리진스

수학

이원 분포는 일반적으로 두 개의 서로 다른 단일 분포(즉, 하나의 모드만 있는 분포)의 혼합으로 발생합니다.다른 말로, bimodally 분산된 확률 변수 XY{Y\displaystyle}로 확률 α 확률(1− α), Y와 Z이 단봉 확률 변수와 0개체{\displaystyle(1-\alpha),};α<>로{\displaystyle \alpha}또는 Z{Z\displaystyle}1{0<,\displaystyle \alpha<>으로 정의되어 있다.1}은혼합물 계수

두 가지 성분이 서로 다른 혼합물은 쌍모달일 필요가 없으며 단일 성분 밀도의 두 가지 성분 혼합물은 두 가지 이상의 모드를 가질 수 있습니다.혼합물 내 성분 수와 결과 밀도의 모드 수 사이에는 직접적인 연관성이 없습니다.

특정 분포

바이모달 분포는 데이터 집합에서 자주 발생하지만 거의 연구되지^{[citation needed]} 않았습니다.이것은 빈도론 또는 베이지안 방법 중 하나로 그들의 매개변수를 추정하는 어려움 때문일 수 있다.연구한 것 중에는 다음과 같은 것이 있습니다.

• 이원 지수 분포.^[6]
• 알파-스큐 정규 ^[7]분포입니다.
• 쌍모달 치우침-대칭 정규 분포.^[8]
• Conway-Maxwell-Poisson 분포의 혼합이 이각형 카운트 ^[9]데이터에 적합되었습니다.

쌍방향성은 또한 교두보 재앙 분포에서 자연스럽게 발생한다.

생물학

생물학에서 5가지 요인은 모집단^{[citation needed]} 크기의 쌍모달 분포에 기여하는 것으로 알려져 있습니다.

• 개별 크기의 초기 분포
• 개인간의 성장률 분포
• 개인의 성장률의 크기와 시간에 의존함
• 각 크기 클래스에 다른 영향을 미칠 수 있는 사망률
• 인간과 생쥐 게놈의 DNA 메틸화.

직조 개미 노동자의 크기 쌍방향 분포는 주요 노동자와 소규모 ^[10]노동자의 두 가지 다른 계층이 존재하기 때문에 발생합니다.

전체^[11][12] 게놈과 개별 유전자^[13] 모두에 대한 돌연변이의 적합성 효과 분포는 또한 대부분의 돌연변이가 중립적이거나 치사하고 중간 효과를 갖는 비교적 적은 수의 돌연변이와 함께 종종 쌍모달인 것으로 밝혀졌다.

일반 속성

평균이 서로 다른 두 개의 단일 분포가 혼합되어 있다고 해서 반드시 이항 분포일 필요는 없습니다.남성과 여성의 키 조합 분포는 때때로 쌍모달 분포의 예로 사용되기도 하지만, 실제로 남성과 여성의 평균 키 차이는 표준 편차에 비해 너무 작아서 쌍모달성을 ^[14]생성하지 못한다.

이원 분포는 단일 분포와 달리 평균이 ^[15]중위수보다 더 강력한 표본 추정기일 수 있는 고유한 특성을 가지고 있습니다.이것은 분포가 아크신 분포와 같은 U 모양인 경우에는 명백합니다.분포에 하나 이상의 긴 꼬리가 있는 경우에는 이 값이 참이 아닐 수 있습니다.

혼합 모멘트

허락하다

${{displaystyle f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)}$

여기서_i g는 확률 분포이고 p는 혼합 모수입니다.

f(x)의^[16] 순간은

$\displaystyle \mu = p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}}$

${\displaystyle _{2}=p[\displaystyle _{1}^2}+\display_{1}^2}+(1-p)[\display_{2}^{2}+\display_{2}^{2}]$

$\displaystyle \nu _{3}=p[S_{1}\sigma _{3}+3\sigma _{1}\sigma _{3}+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^2}+\delta _{2}^3}}$

$\displaystyle \nu _{4}=p[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta_{1}\sigma_{1}^3}+6\delta_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+(1-p)[K_{2}\sigma_{2}^4}+4]S_{2}\delta_{2}\sigma_{2}^{2}+6\delta_{2}\sigma_{2}+\delta_{2}^{4}}$

어디에

${\displaystyle \mu =\int xf(x),param}$

$\displaystyle _{i}=\mu _{i}-\mu }$

${\displaystyle \nu _{r}=\int (x-\mu)^{r}f(x),parames}$

S와_ii K는 i 분포의^th 왜도 및 첨도입니다.

두 정규 분포의 혼합물

조사자가 데이터가 두 정규 분포의 혼합에서 나온다고 믿는 상황은 드물지 않습니다.이 때문에 이 혼합물은 상세하게 ^[17]연구되고 있다.

두 정규 분포의 혼합에는 두 평균, 두 분산 및 혼합 모수의 다섯 가지 모수가 있습니다.표준 편차가 동일한 두 정규 분포의 혼합은 평균이 공통 표준 ^[14]편차의 두 배 이상 다른 경우에만 이항 분포입니다.분산이 동일하다고 가정할 수 있는 경우(동질적 경우) 모수의 추정치는 단순화됩니다.

두 정규 분포의 평균이 같으면 결합된 분포가 단일 분포가 됩니다.결합 분포의 단일성에 대한 조건은 아이젠버거에 ^[18]의해 도출되었다.Ray와 ^[19]Lindsay는 정규 분포의 혼합물이 쌍모달로 만들어지기 위한 필요충분한 조건을 확인했습니다.

질량의 중심 양쪽에 있는 두 모드의 분포가 분포의 꼬리를 효과적으로 감소시키므로 질량의 거의 동일한 두 정규 분포의 혼합에는 음의 첨도가 있습니다.

분포가 작을수록 지배적인 정규 분포의 꼬리가 길어지기 때문에 질량이 매우 다른 두 정규 분포의 혼합물은 양의 첨도를 가집니다.

다른 분포의 혼합물을 추정하려면 추가 모수를 사용해야 합니다.

단일성 검정

• 이 혼합물은 만약 그렇다면, 그리고^[20] 오직

${\displaystyle d\leq 1}$

또는

$\displaystyle \left \log(1-p)-\log(p)\right \vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1})+2dsqrt {d^{2}-1}}},$

여기서 p는 혼합 파라미터입니다.

${\displaystyle d=black {\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right \vert}{2clrt {{1}\block _{2}}}}$

여기서₁ μ와₂ μ는 두 정규 분포의 평균이고₁ μ와₂ μ는 표준 편차이다.

• 사례 p = 1/2에 대한 다음 테스트는 실링 외 ^[14]연구진에 의해 설명되었다.허락하다

${\displaystyle r=syslogfrac {{1}^2}}{\syslog _{2}^2}}}$

분리 계수(S)는

$({displaystyle S=svlac {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2(1-r+r^{2})^{1}).5}} {{\syslogrt {r}}(1+{\syslogrt {r}}}}}}}}.}$

분산이 같으면 S = 1입니다.혼합물 밀도는 다음과 같은 경우에 한해 단언할 수 있다.

${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2} <S \sigma _{1}+\sigma _{2} .}$

• 단일성을 위한^[21] 충분한 조건은

$\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2} \leq 2\min(\displaystyle _{1},\display _{2}).}$

• 2개의 정규 분포가 표준편차가${\displaystyle }같을{\displaystyle }$ 경우,$$\$displaystyle \sigma}$는 유니모달리티에^[21] 대한 충분한 조건입니다.

${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2} \leq 2\displayrt {1+{\frac {\log p-\ln(1-p)} {2}}.}$

요약 통계

이원 분포는 평균, 중위수 및 표준 편차와 같은 요약 통계량이 임의 분포에서 사용될 때 어떻게 기만적일 수 있는지를 보여 주는 일반적인 예제입니다.예를 들어, 그림 1의 분포에서, 0이 일반적인 값이 아님에도 불구하고 평균과 중위수는 약 0이 될 것이다.또한 표준 편차는 각 정규 분포의 편차보다 큽니다.

몇 가지 제안이 있었지만, 일반 쌍모형 분포의 모수를 정량화하기 위해 현재 일반적으로 합의된 요약 통계량(또는 일련의 통계량)은 없다.두 정규 분포가 혼합된 경우 평균 및 표준 편차와 혼합 모수(조합에 대한 가중치)가 일반적으로 사용됩니다. 즉, 총 5개의 모수가 사용됩니다.

애쉬맨즈 D

유용할 수 있는 통계는 Ashman의 D:^[22]

${\displaystyle D=(2^{\frac {1}{2}}){\frac {\frac {{1}-\mu _{2}\right }{\frac {{1}+\frac _{2}}}}}}$

여기서₁ μ₂, μ는 평균이고 δ₁ δ는₂ 표준 편차이다.

2개의 정규 분포가 혼재하는 경우 분포를 완전히 분리하려면 D > 2가 필요합니다.

판 데르 에이크의 A

이 척도는 도수 ^[23]분포의 합치도에 대한 가중 평균입니다.A의 범위는 -1(완벽 이원성)에서 +1(완벽 단일성)입니다.다음과 같이 정의됩니다.

$({displaystyle A=U(1-{\frac {S-1}{K-1})})$

여기서 U는 분포의 유니모달리티, S는 0이 아닌 빈도를 갖는 범주 수, K는 총 범주 수입니다.

배포에 다음 3가지 특성 중 하나가 있는 경우 U 값은 1입니다.

• 모든 응답이 단일 범주에 있습니다.
• 반응은 모든 카테고리에 균등하게 분포되어 있다
• 응답은 연속된 두 개 이상의 카테고리에 균등하게 분포되며, 다른 카테고리는 응답이 0이다.

이러한 분포 이외의 분포에서는 데이터를 '계층'으로 분할해야 합니다.레이어 내에서 반응은 같거나 0입니다.카테고리는 연속할 필요는 없습니다.각 층(A_i)에 대한 A의 값을 산출해 분포에 대한 가중평균을 구한다.각 계층의 가중치(w_i)는 해당 계층의 반응 수입니다.기호로

${\displaystyle A_{전체}=\sum w_{i}A_{i}}$

모든 반응이 하나의 범주 A = +1에 속할 경우 균등 분포의 값은 A = 0:입니다.

이 지수의 이론적인 문제 중 하나는 구간이 동일한 간격으로 설정되어 있다고 가정한다는 것입니다.이로 인해 적용 가능성이 제한될 수 있습니다.

바이모달 분리

이 지수는 이 분포가 평균(μ₁₂ 및 μ)과₁ 표준 편차(θ 및₂ ^[24]θ)를 갖는 두 정규 분포의 혼합물이라고 가정합니다.

$({displaystyle S=mu_{1}-\mu_{2}}{2(\display_{1}+\display_{2}})}$

이형성 계수

Sarle의 이원성 계수 b는^[25] 다음과 같습니다.

${\displaystyle \displaystyle = displayfrac {\kappa }$

여기서 θ는 왜도이고 θ는 첨도입니다.여기서 첨도는 평균 주위의 표준화된 네 번째 모멘트로 정의된다.b 값은 0 ~1 ^[26]입니다.이 계수의 배경 논리는 밝은 꼬리를 가진 쌍모달 분포는 첨도가 매우 낮거나 비대칭 특성이거나 둘 다이며, 이 모든 것이 이 계수를 증가시킨다는 것입니다.

유한 표본의^[27] 공식은 다음과 같습니다.

${{displaystyle b=snfrac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}$

여기서 n은 표본의 항목 수이고 g는 표본 왜도이고 k는 표본 과잉 첨도입니다.

균등 분포의 b 값은 5/9입니다.지수 분포에 대한 값이기도 합니다.값이 5/9보다 크면 이항 분포 또는 다중 모달 분포를 나타낼 수 있지만, 해당 값이 심하게 치우친 단일 모달 ^[28]분포의 경우도 있습니다.최대값(1.0)은 두 개의 개별값만 있는 베르누이 분포 또는 두 개의 다른 Dirac 델타 함수의 합(bi-delta 분포)에 의해서만 도달합니다.

이 통계량의 분포를 알 수 없습니다.이는 Pearson이 이전에 제안한 통계량, 즉 첨도와 왜도의 제곱 사이의 차이와 관련이 있습니다(정보 기반).

쌍모달리티 진폭

이것은 다음과 같이 정의됩니다^[24].

${\displaystyle A_{B}=blac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}}:$

여기서₁ A는 작은 피크의 진폭이고_an A는 안티모드의 진폭입니다.

A는_B 항상 < 1입니다.값이 클수록 피크가 뚜렷하다는 것을 나타냅니다.

쌍모달비

이것은 ^[24]왼쪽과 오른쪽 피크의 비율입니다.수학적으로

$({displaystyle R=map frac {A_{r}}{A_{l}}})$

여기서_l A와_r A는 각각 왼쪽과 오른쪽 피크의 진폭입니다.

이형성 모수

이 파라미터(B)는 Wilcock에 ^[29]기인합니다.

${\displaystyle B=sqrt {frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum P_{i}}$

여기서_l A와_r A는 각각 왼쪽과 오른쪽 피크의 진폭이고_i P는 i 간격에서의^th 분포 비율의 기저 2로 취해진 로그이다.δP의 최대값은 1이지만 B의 최대값은 이보다 클 수 있습니다.

이 인덱스를 사용하려면 값 로그를 가져옵니다.그런 다음 데이터는 log 2인 폭 δ의 간격으로 분할됩니다.피크의 폭은 최대값을 중심으로 한 1/4Ω의 4배로 간주됩니다.

이원성 지수

왕지수

Wang 등이 제안한 이항 분포 지수는 분포가 분산은 같지만 ^[30]평균은 다른 두 정규 분포의 합이라고 가정합니다.이것은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle\displayfrac {\mu _{1}-\mu _{2}}{\display }}$

여기서₁ μ₂, μ는 평균이고 μ는 공통 표준 편차이다.

${\displaystyle BI=\delta {p(1-p)}}$

여기서 p는 혼합 파라미터입니다.

스터록 지수

Sturrock은 ^[31]다른 이중성 지수를 제안했다.

이 지수(B)는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle B=pifrac {1}{N}\left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\clos)\right]^{2}+\left(\sum _1}^N}\sin(2\pi m\clight)\right)^2}+{2}\left(\light)$

m = 2이고 θ가 균일하게 분포되면 B는 지수적으로 ^[32]분포됩니다.

이 통계는 주기율표의 한 형태입니다.이러한 형태의 통계에서 흔히 볼 수 있는 추정과 스펙트럼 누출의 일반적인 문제를 겪고 있다.

드 미셸과 아카티노 지수

de Michele과 Accatino는 ^[33]또 다른 양면성 지수를 제안했습니다.지수(B)는

${\displaystyle B= \mu -\mu _{M}}$

여기서 μ는 샘플의 산술 평균이며,

$({displaystyle \mu _{M}=blac {sum _{i=1}^{L}) {\sum _{i}x_{i}}{{i=1}^{L}^{i}}})$

여기서_i m은 i빈의 데이터 포인트^th 수이고_i x는 i빈의^th 중심이며 L은 빈의 수입니다.

저자들은 B가 쌍모달(B > 0.1) 분포와 단모달(B < 0.1) 분포를 구별하기 위해 0.1의 컷오프 값을 제안했다.이 값에 대한 통계적 정당성은 제공되지 않았다.

샘브룩 스미스 지수

Sambrook Smith 등에^[34] 의해 추가 지수(B)가 제안되었다.

${\displaystyle B= \phi _{2}-\phi _{1} {1} {frac {p_{2}} {p_{1}}}$

여기서₁ p와₂ p는 primary(진폭이 큰 것)와 secondary(진폭이 작은 것) 모드에 포함되는 비율이며, θ와₁₂ θ는 primary 및 secondary 모드의 θ-time입니다.µ-size는 base 2로 취득된 데이터 크기의 로그에서 마이너스1을 곱한 값으로 정의됩니다.이 변형은 퇴적물 연구에 일반적으로 사용된다.

저자들은 B가 바이모달 분포의 경우 1.5보다 크고 단일 분포의 경우 1.5보다 작은 컷오프 값을 권장했다.이 값에 대한 통계적 정당성은 제시되지 않았다.

초두리 아그라왈 지수

Chaudhuri와 Agrawal에 ^[35]의해 또 다른 양면성 매개변수가 제안되었습니다.이 모수를 사용하려면 이항 분포를 구성하는 두 하위 모집단의 분산에 대한 지식이 필요합니다.다음과 같이 정의됩니다.

${{displaystyle k=syslogfrac {n_{1}\syslog _{1}^{2}+n_{2}\syslog _{2}}{m\syslog ^{2}}}$

여기서_i n은 i 서브^th 모집단의 데이터 포인트 수, θ는_i² i 서브^th 모집단의 분산, m은 샘플의 총 크기, θ는² 샘플 분산입니다.

분산의 가중 평균입니다.저자들은 이 매개변수를 최적화 대상으로 사용하여 표본을 두 개의 하위 모집단으로 나눌 수 있다고 제안한다.이 제안에 대한 통계적 근거는 제시되지 않았다.

통계 테스트

데이터 집합이 이중 모드(또는 다중 모드) 방식으로 분포되어 있는지 여부를 확인하기 위해 여러 가지 검정을 사용할 수 있습니다.

그래픽 방식

퇴적물 연구에서 입자의 크기는 종종 쌍모달이다.경험적으로 ^[36][37]입자의 로그(크기)에 대해 주파수를 표시하는 것이 유용한 것으로 밝혀졌다.이것은 보통 입자를 양모달 분포로 명확하게 분리할 수 있습니다.지질학적 응용에서 로그는 보통 밑수 2로 이동한다.로그 변환된 값은 phi(Ω) 단위라고 불립니다.이 시스템은 크럼바인(또는 파이) 척도로 알려져 있습니다.

또 다른 방법은 누적 빈도에 대한 입자 크기의 로그를 표시하는 것입니다.이 그래프는 일반적으로 안티모드에 대응하는 연결 선과 함께 두 개의 합리적인 직선으로 구성됩니다.

통계 정보

그래픽 ^[36]그림에서 여러 통계량에 대한 대략적인 값을 얻을 수 있습니다.

$({displaystyle {mathit {Mean}}=snapfrac {phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84)}{3}})$

$({displaystyle {StdDev}}=parc frac {phi _{84}-\phi _{16}}{4}+{\frac {95}-\phi _{5}}}{6.6}}}}$

$({displaystyle {skew}=parc frac {phi _{84}+\phi _{50}}) {2(\phi _84)-\phi _{16}}}}+{\frac {95}+\phi _{5}-2\phi _50} {\phi} {\phi} {\fi} {50} {\phi}$

$({displaystyle {mathit {Kurt}}=harc frac {phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25}}})}$

여기서 평균은 평균, 표준 편차, 스큐는 왜도, 커트는 첨도, θ는_x 분포의 x 백분율에서^th 변수 θ의 값입니다.

유니모달 대 바이모달 분포

Pearson은 1894년에 분포가 두 ^[38]개의 정규 분포로 분해될 수 있는지 여부를 테스트하는 절차를 최초로 고안했습니다.이 방법은 9차 다항식의 해를 필요로 했다.후속 논문에서 Pearson은 분포 왜도² + 1 < ^[26]첨도에 대해 이렇게 보고했습니다.나중에 피어슨이 보여준^[39] 것은

${\displaystyle b_{2}-b_{1}\geq 1}$

여기서₂ b는 첨도이고 b는₁ 왜도의 제곱입니다.등식은 두 점 베르누이 분포 또는 두 개의 다른 디랙 델타 함수의 합에 대해서만 유지됩니다.이것들은 가능한 가장 극단적인 양면성의 경우입니다.이 두 경우 모두 첨도는 1입니다.둘 다 대칭이기 때문에 왜도는 0이고 차이는 1입니다.

Baker는 쌍모달을 단일 분포로 변환하는 ^[40]변형을 제안했습니다.

단일성과 이중성을 비교한 몇 가지 테스트가 제안되었습니다.Haldane은 두 번째 중심 ^[41]차이에 기초한 것을 제안했다.라킨은 나중에 F ^[42]테스트에 기초한 테스트를 도입했다; 베넷은 피셔의 G ^[43]테스트에 기초한 테스트를 만들었다.도케시는 네 번째 ^[44][45]테스트를 제안했다.Holzmann과 Vollmer는 ^[20]우도비에 기초한 테스트를 제안했다.

점수와 월드 테스트에 기초한 방법이 ^[46]제안되었다.이 방법은 기본 분포가 알려진 경우 단일 분포와 이원 분포를 구분할 수 있습니다.

안티모드 테스트

안티모드의 통계 테스트는 ^[47]알려져 있습니다.

오츠법

Otsu의 방법은 컴퓨터 그래픽스에서 두 분포 사이의 최적 분리를 결정하기 위해 일반적으로 사용됩니다.

일반적인 테스트

분포가 유니모달 이외의지를 테스트하기 위해 대역폭 테스트,^[48] 딥 테스트,^[49] 초과 질량 테스트,^[50] MAP 테스트,^[51] 모드 존재 테스트,^[52] 런트 테스트,^[53][54] 스팬 ^[55]테스트 및 안장 테스트 등 몇 가지 추가 테스트가 고안되었습니다.

R 프로그래밍 ^[56]언어에 대해 딥 테스트를 구현할 수 있습니다.딥 통계량 값의 p-값은 0과 1 사이입니다. P-값은 0.05보다 크지만 0.10보다 작은 경우 ^[57]유의한 다중 모드를 나타냅니다.

실버맨 테스트

Silverman은 모드 ^[48]수에 대한 부트스트랩 방식을 도입했습니다.이 테스트에서는 고정 대역폭을 사용하여 테스트의 전력과 해석 가능성을 낮춥니다.밀도가 낮으면 부트스트래핑 중 카운트가 불안정한 모드 수가 너무 많을 수 있습니다.

Bajgier-Aggarwal 검정

Bajgier와 Aggarwal은 ^[58]분포의 첨도에 기초한 테스트를 제안했다.

특수한 경우

다음과 같은 특수한 경우에 대해 추가 테스트를 사용할 수 있습니다.

두 정규 분포의 혼합물

두 정규 분포 데이터의 혼합물 밀도를 연구한 결과 평균이 4-6 표준 ^[59]편차로 분리되지 않는 한 두 정규 분포로 분리하기 어려운 것으로 나타났습니다.

천문학에서 커널 평균 일치 알고리즘은 데이터 집합이 단일 정규 분포에 속하는지 또는 두 정규 분포의 혼합에 속하는지 결정하기 위해 사용됩니다.

베타 정규 분포

이 분포는 의 특정 모수 값에 대해 쌍모달입니다.이러한 값에 대한 테스트가 ^[60]설명되었습니다.

모수 추정 및 적합 곡선

위의 검정을 통해 분포가 이변형인 것으로 알려져 있거나 이변형인 것으로 판명되었다고 가정할 경우 데이터에 곡선을 적합시키는 것이 종종 바람직합니다.어려울 수도 있어요.

베이지안 방법은 어려운 경우에 유용할 수 있습니다.

소프트웨어

2개의 정규 분포

R용 패키지는 이원성을 ^[61]테스트하기 위해 사용할 수 있습니다.이 패키지에서는 데이터가 2개의 정규 분포의 합계로서 배포되는 것을 전제로 하고 있습니다.이 가정이 정확하지 않으면 결과를 신뢰할 수 없을 수 있습니다.또한 두 정규 분포의 합계를 데이터에 적합시키는 함수도 포함되어 있습니다.

분포가 두 정규 분포의 혼합이라고 가정하면 기대-최대화 알고리즘을 사용하여 모수를 결정할 수 있습니다.이를 ^[62]위해 클러스터 및 R 패키지 ^[63]nor1mix를 포함한 여러 프로그램을 사용할 수 있습니다.

기타 배포

R에 사용할 수 있는 mixtools 패키지는 여러 ^[64]다른 분포의 매개변수를 테스트하고 추정할 수 있습니다.두 개의 오른쪽 꼬리 감마 분포의 혼합을 위한 패키지를 사용할 ^[65]수 있다.

혼합 모델에 적합한 R용 기타 패키지는 Flexmix,^[66] mcclust,^[67] agrmt ^[68]및 mixdist ^[69]등 여러 가지가 있습니다.

통계 프로그래밍 언어 SAS는 PROC FREQ 절차와 함께 다양한 혼합 분포를 맞출 수도 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 과잉 분산

레퍼런스