혼합 포아송 분포

혼합 포아송 분포
표기법
파라미터
지지하다
PMF
의미하다
분산
왜도
MGF	"( t -) { M { \ }（e^ { } - 1）。 "{ M _ { \ }mg 。MGF 。
CF
PGF

혼합 포아송 분포는 확률론에서 일변량 이산 확률 분포입니다.이 값은 비율 모수 자체를 랜덤 변수로 간주하는 포아송 분포가 랜덤 변수라고 가정한 결과입니다.따라서 이는 복합 확률 분포의 특수한 경우입니다.혼합 포아송 분포는 보험수리 수학에서 클레임 수의 분포에 대한 일반적인 접근법으로 찾을 수 있으며 역학 ^[1]모델로도 조사된다.복합 포아송 분포 또는 복합 포아송 ^[2]공정과 혼동해서는 안 됩니다.

정의.

확률 분포가 있는 경우 랜덤^[3] 변수 X는 밀도 θ(θ)의 혼합 포아송 분포를 만족합니다.

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

}}e

^{-\

sqda },\pi

(\sqda

),\mathrm {d}

\sqda

}.

포아송 분포의 확률을 q(k)로_λ 나타내면

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

(

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

)

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

0

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

(

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

)

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

{

displaystyle \operatorname {P}

( X

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

=

\operatorname {P} (X=k)=\int \limits _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda

k ) = \

int \infty }q_{\pi }(k),\pi

(\

pairda

) \

da

특성.

분산은 항상 예상 값보다 큽니다.이 속성을 과대산포라고 합니다.이는 평균과 분산이 동일한 포아송 분포와는 대조적입니다.
실제로는 감마 분포, 로그 정규 분포 및 역 가우스 분포의 밀도만 밀도 δ(θ)로 사용된다.감마 분포의 밀도를 선택하면 음의 이항 분포를 얻을 수 있는데, 이 분포를 포아송 감마 분포라고도 합니다.

$\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ 중 $\pi (\lambda )\,$ $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ ∞ $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ 00 $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ d $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ {\{ $displaystyle \mu$ _ { \ $pi$ } = \ $int \display$ { 0 }^{\ $infty$ } \ $sqda }$ \ pi ( $\pi (\lambda )\,$ \ $\pi (\lambda )\,$ $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ $)$ $d$ $\pi (\lambda )\,$ $\$ $sqda$ \ $display$ style \ pi \ $da 、$ $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ ） $\pi (\lambda )\,$ $^{2}=\int \int$ _ ${0}^{\infty$ }(\ $pi$ })^{ $2},\pi (\pi d)d\$ pi d\infty $}$ 는 $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )d\lambda \,$ 밀도의 분산입니다.

기대치

혼합 포아송 분포의 기대값은 다음과 같습니다.

\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }

\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }

\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }

）

=

\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }

（

\

displaystyle

\

operatorname { E

} （ X ）

=\mu

_{\

pi }

）。

분산

분산에 대해 얻을^[3] 수 있다.

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

） =

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

+

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

{\

2 {

displaystyle \operatorname { Var

} ( X )

=

\

mu

_ { \

pi

} + \

pi }^2

}

\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}

。

왜도

왜도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

v

Biggr

특성 함수

특성 함수는 다음과 같은 형태를 가진다.

x

M_{\pi }(e^{is}-1

$여기$ 서 M $M_{\pi }$ （ \ $displaystyle$ M _ { \ pi $M_{\pi }$ $}$ ）는 밀도의 모멘트 생성 함수입니다.

확률 생성 함수

확률^[3] 생성 함수의 경우 다음과 같이 구한다.

m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1)\,

M_{\pi }(s-1

모멘트 생성 함수

혼합 포아송 분포의 모멘트 생성 함수는 다음과 같습니다.

M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1)\,

M_{\pi }(e^{s}-1

예

정리 - 포아송 분포와 감마 분포에 따라 분포된 속도 모수를 결합하면 음의 이항 ^[3]분포가 생성됩니다.

증명

$\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ ( $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ ) $=$ ( $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ 1 - $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ ) $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ - $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ - $（$ \ $display$ style \ $pi$ ( \ $displayda$ )= $fr$ { { \ frac { \ $frac$ { $p$ } { \ $Gamma$ ( $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ r ) } } \ $da$ ^ { $r$ - 1 ^ { r - 1 } { $frac$ } { frac } { fr 1 } { fr 1 } { fr $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ } { fr 1 } { fr 1 } { frac }랜덤 변수입니다.

${\displaystyle\operatorname {P}(X=k)&=frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty}\sqda ^{k}e^{-\sqda}{r}}{\Gamma(r)}}\sqda ^{-r1}e^{-{\frac {p}{-p}\sqda}\mathrmathda},}}\int _{0}^{\infty }\sqda ^{k+r-1}e^{-\sqda {frac {1}{1-p}},\mathrm {d} \sqda \\&=sqfrac {p^{r}(1-r})^{-r}}}}}{\Gamma(rma (1-r)^{-rmatma (1-r})})}{-r}{-r}^{-r}{-r}{-r}{-r\&=paramfrac {Gamma(r+k)}{\감마(r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}}$

$X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ X $X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ ~ $X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ $X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ ( $X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ , $X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ ) { $displaystyle$ X \ $sim \operatorname {NegB$ } ( $r$ , $p$ ) $X\sim \operatorname {NegB} (r,p)$ 。

정리 - 포아송 분포를 지수 분포에 따라 분포된 비율 모수와 결합하면 기하 분포가 생성됩니다.

증명

$\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ ( $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ ) $=$ $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ e - $β$ (\ $displaystyle \pi (\displayda$ ) $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ $(\$ $displaystyle$ \ $pi$ (\displaystyle \ $displayda }$ {\display $}}}}$ e $^{-{\frac$ ${\frac$ $}}}} {-}}$ {-} {\ $frac$ {-}}}} {\displaystyclash}}}}}}}}}} {\ $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ }}}}}}}}}}}}}부품별 통합을 n배로 하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

{\displaystyle\operatorname {P}(X=k)&=frac {1}{k!}}\int \int _{0}^{\infty}\intda ^{k}e^{-\frac {1}{\frac}e^{-{\frac {\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\d}\d}\fac {\d}\d}\fac{\d}\frac{\da}\fac{\flac{\f}{\f}{\f}{\f}\^{k}\int \interf _{0}^{\infty}e^{-\interfda \leftfrac {1+\interf}}{\right},\mathrm {d} \interfda \\interface}}},\mathrm {d}\frac {d} \interfd} \interfright} \\d} \\interfd} \\interfd} \\right } \\cd} \\interfd} \\right ^ } \^{k}\leftflac{1}{1+\flac}}\right)\end{aligned}}

따라서 X

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

~

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

(

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

1 +

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

β

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

){

displaystyle X\

sim \

operatorname {Geo\left({\frac {1}{

1+\

beta }}}\

right

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

가

X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)}

.