부울 대수(구조)

추상 대수학에서 부울 대수 또는 부울 격자는 보완된 분배 격자다. 이러한 유형의 대수적 구조는 세트 연산과 논리 연산의 필수적인 속성을 모두 포착한다. 부울대수는 동력 집합 대수 또는 집합의 장을 일반화한 것으로 볼 수 있거나, 그 요소들을 일반화된 진리 값으로 볼 수 있다. 또한 드 모건 대수학, 클레인 대수학(비자발적)의 특수한 경우다.

모든 부울 대수는 부울 링을 발생시키며, 그 반대의 경우, 연결 또는 만남에 해당하는 링 곱하기와 배타적 분리 또는 대칭적 차이(분리되지 않음)에 링이 추가된다. 그러나 부울링의 이론은 두 연산자 사이에 내재된 비대칭성을 가지고 있는 반면 부울대수의 공리와 이론은 이중성 원리에 의해 기술된 이론의 대칭을 표현한다.^[1]

역사

부울대수라는 용어는 독학한 영국 수학자 조지 불(1815–1864)을 기린다. 그는 처음에는 아우구스투스 드 모건과 윌리엄 해밀턴 사이에 진행 중인 대중적 논란에 대응하여 1847년에 출판된 작은 팜플렛 <논리의 수학 분석>에서 대수학 시스템을 소개했고, 이후 1854년에 출판된 보다 실속 있는 책 <생각의 법칙>으로 소개하였다. Boole의 공식은 몇몇 중요한 측면에서 위에서 설명한 것과 다르다. 예를 들어, Boole에서 접속사와 분리 작업은 이중 쌍의 작업이 아니었다. 부울대수는 윌리엄 제본스와 찰스 샌더스 피르스가 쓴 논문에서 1860년대에 등장했다. 부울 대수와 분배 격자의 첫 번째 체계적 제시는 에른스트 슈뢰더의 1890년 보를성겐 덕분이다. 영어로 부울대수를 최초로 광범위하게 다루는 것은 A. N. 화이트헤드의 1898년 유니버설 대수학이다. 현대 자명적 의미에서의 자명적 대수 구조로서의 부울 대수학은 에드워드 5세의 1904년 논문에서 시작된다. 헌팅턴. 부울대수는 1930년대 마샬 스톤의 연구와 개럿 비르코프의 1940년 래티스 이론으로 심각한 수학으로 성장했다. 1960년대에 폴 코헨, 다나 스콧 등에서는 부울대수의 오프슈트를 이용한 수학논리와 자명 집합론, 즉 강제성과 부울가치의 모형에서 깊은 새로운 결과를 발견했다.

정의

A Boolean algebra is a six-tuple consisting of a set A, equipped with two binary operations ∧ (called "meet" or "and"), ∨ (called "join" or "or"), a unary operation ¬ (called "complement" or "not") and two elements 0 and 1 in A (called "bottom" and "top", or "least" and "greatest" element, also denoted by the symbols ⊥ and ⊤, respectively), such thA의 모든 원소 a, b, c에 대해 다음 공리는 다음과 같다.^[2]

a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c	a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c	연상성
a ∨ b = b ∨ a	a ∧ b = b ∧ a	동시성
a ∨ (a ∧ b) = a	a ∧ (a ∨ b) = a	흡수
∨ 0 = a	∧ 1 = a	정체성
a ∨ (b ∧ c) = (a b) b (∧ c)	a ∧ (b ∨ c) = (a b) b (∨ c)	분배성
a ∨a = 1	a ∧ =a = 0	보완물

그러나 흡수법칙과 심지어 연관법칙도 다른 공리에서 파생될 수 있기 때문에 공리 집합에서 제외될 수 있다는 점에 유의한다(Proven 특성 참조).

원소가 하나뿐인 부울대수를 하찮은 부울대수 또는 퇴보 부울대수라고 한다.(구작에서는 이 경우를 배제하기 위해 0과 1이 구별되는 요소가 되도록 일부 저자들이 요구하였다.)^{[citation needed]}

위의 마지막 세 쌍의 공리(식별성, 분배성 및 보완성) 또는 흡수 공리로부터 다음과 같은 결과를 얻는다.

a = b ∧ a if 및 if ∨ b = b인 경우에만

이러한 등가 조건이 유지될 경우 b b로 정의되는 관계 ≤은 최소 원소 0과 최대 원소 1을 갖는 부분 순서다. ∧ b를 만나는 것과 두 원소의 ∨ b를 결합하는 것은 각각 ≤에 관한 그들의 최소와 우월성과 일치한다.

처음 네 쌍의 공리는 경계 격자의 정의를 구성한다.

어떤 보완물도 독특하다는 것은 처음 다섯 쌍의 공리로부터 따온 것이다.

공리 집합은 ∨과 ∧을, 0을 공리 안에서 1과 교환하면 그 결과는 다시 공리라는 의미에서 자기 이중이다. 따라서 이 연산을 부울대수(또는 부울 격자)에 적용함으로써 동일한 원소를 가진 또 다른 부울대수를 얻는다. 이를 이중대수라고 한다.^[3]

예

• 가장 단순한 비삼차적 부울대수인 2원소 부울대수는 0과 1이라는 두 가지 요소만 가지고 있으며, 규칙으로 정의된다.

∧ 0 1 0 0 0 1 0 1

∨ 0 1 0 0 1 1 1 1

a 0 1 ¬a 1 0

• 0을 거짓으로, 1을 참으로, 앎을 앎으로써, 앎을 앎으로써 또는 그렇지 않다고 해석하는 논리적인 응용을 가지고 있다. 변수와 부울 연산을 포함하는 식은 문장 양식을 나타내며, 해당 문장 형식이 논리적으로 동등한 경우에만 위의 공리를 사용하여 그러한 두 식이 동일한 것으로 보일 수 있다.

• 2-element Boolean 대수 또한 전기 공학에서 회로 설계에 사용된다.^{[note 1]} 여기서 0과 1은 디지털 회로의 1비트의 서로 다른 두 상태(일반적으로 고전압과 저전압)를 나타낸다. 회로는 변수를 포함하는 표현식으로 설명되며, 해당 회로가 동일한 입력-출력 동작을 갖는 경우에만 변수의 모든 값에 대해 그러한 두 가지 표현식이 동일하다. 게다가, 모든 가능한 입력-출력 동작은 적절한 부울 식에 의해 모델링될 수 있다.

• 2요소 부울대수는 여러 변수를 포함하는 방정식이 2요소 부울대수학(소수의 변수에 대해 사소한 짐승력 알고리즘으로 확인할 수 있는 경우)에 있는 경우에만 모든 부울알고리즘에서 일반적으로 참이기 때문에 부울알고리즘의 일반론에서도 중요하다. 이를테면 다음과 같은 법칙(합의서 정리)이 모든 부울 알헤브라에서 일반적으로 유효하다는 것을 보여주는 데 사용할 수 있다.
  • (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (aa ∨ c) ≡ (¬a ∨ c)
  • (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (aa ∧ c) ≡ (¬a ∧ c)

• 주어진 비빈 집합 S의 전원 집합(모든 하위 집합의 집합)은 집합의 대수인 부울 대수(Boolean 대수)를 형성하며, 두 연산 operations := ∪ (union)과 ∧ := ∩ ( intersection)을 가지고 있다. 가장 작은 원소 0은 빈 세트, 가장 큰 원소 1은 세트 S 그 자체다.

• 2-element Boolean 대수 이후 가장 단순한 부울 대수학은 두 원자의 동력 집합에 의해 정의되는 것이다.

∧ 0 a b 1 0 0 0 0 0 a 0 a 0 a b 0 0 b b 1 0 a b 1

∨ 0 a b 1 0 0 a b 1 a a a 1 1 b b 1 b 1 1 1 1 1 1

x 0 a b 1 ¬x 1 b a 0

• 유한하거나 공동 피니티인 $S$ ${\displaystyle S}$의 모든 하위 집합 중 집합$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 부울 대수 및 유한-코피니티 대수라고 하는 집합의 대수다. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가$$) 무한인 경우${\displaystyle ,}$ Fréchet 필터라고 하는 $S{\displaystyle }$ , ${\displaystyle$ S$}$의 모든 코피나이트 하위 집합 집합은 $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ A$.}$ 그러나$$ Frechet 필터는 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystystyle$ S$.}$의 전원 집합에 대한 초필터가 아니다.
• κ문장 기호가 있는 명제 미적분학부터 시작하여 린덴바움 대수학(명제 미적분모수 논리 등가성의 문장 집합)을 형성한다. 이 구조는 부울대수를 산출한다. 사실 generators 발전기에 대한 자유 부울 대수학이다. 명제 미적분학의 진실 배제는 이 대수에서 2소수 부울대수에 이르는 부울대수 동형성이다.
• 최소 원소를 가진 선형적으로 정렬된 집합 L을 고려할 때, 구간 대수학은 절반 개방 간격[a, b)을 모두 포함하는 L의 하위 집합의 최소 대수로서, a는 L에 있고 b는 L에 있거나 ∞과 같다. 인터벌 알헤브라는 린덴바움 연구에 유용하다.타르스키 알헤브라스; 모든 셀 수 있는 부울 대수학은 간격 대수학과는 이형성이다.

• 자연수 n의 경우, b를 ${\displaystyle \mathrm{분할}}$할 경우$$$display$ b {\$displaystyle a\$leq b$}$을 정의하는 n의 모든 양분자 집합이 분배 격자를 형성한다. 이 격자는 n이 제곱이 없는 경우에만 부울 대수다. 이 부울대수의 하단 원소와 상단 원소는 각각 자연수 1과 n이다. a의 보어는 n/a에 의해 주어진다. a와 b의 만남과 결합은 각각 a와 b의 가장 큰 공통점(gcd)과 최소공통배수(lcm)에 의해 주어진다. 링 추가 a+b는 lcm(a,b)/gcd(a,b)에 의해 주어진다. 그림은 n = 30의 예를 보여준다. 반대 예로서, 비제곱 자유 n=60을 고려할 때, 가장 큰 공통점인 30과 그 보완점 2는 2인 반면, 하단 요소 1은 되어야 한다.
• 부울 알헤브라의 다른 예는 위상학적 공간으로부터 발생한다: X가 위상학적 공간이라면, X의 모든 하위 집합의 집합은 ∨ := ∪ (조합)과 ∧ : = ∩ (인터섹션) 연산과 함께 부울 대수를 형성한다.
• $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 임의의 링인 경우 중앙 IDempents 집합(세트)
  $${\displaystyle A=\왼쪽\{e\in R:e^{2}=e{\text{ 및 }ex=xe\;{\text{전체 }}\;x\in R\right\}}$$

  
  그 연산이 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle e}$+ f${\displaystyle }$- ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e\ve$f:=e+$f-ef$$}$${\displaystyle 및}$ e$$ f := e${\displaystyle f}$. {\$displaystyle e.\$wedge f$:=ef$에 의해 정의되면 부울 대수학으로 된다$.$$}$

동형성 및 이형성

두 부울 알헤브라스 A와 B 사이의 동형성은 함수 f : A → B로서 모든 a, b에 대해 A:

f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b),

f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b),

f(0) = 0,

f(1) = 1.

그런 다음, A의 모든 A에 대해 f(¬a) = ¬f(a)를 따른다. 모든 부울 알헤브라의 클래스는 이러한 형태론의 개념과 함께 격자 범주의 완전한 하위 범주를 형성한다.

두 부울알고리즘 A와 B 사이의 이형성(異形性)은 반동형성을 가진 동형성 f : A → B, 즉, 동형성 g : B → A는 구성 g: A의 정체성 함수, 구성 f : B → B의 정체성 함수다. 부울 알헤브라의 동형성은 이형성으로서 만약 그것이 비주사적이라면 그리고 단지 그것일 뿐이다.

부울 링

Every Boolean algebra (A, ∧, ∨) gives rise to a ring (A, +, ·) by defining a + b := (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) (this operation is called symmetric difference in the case of sets and XOR in the case of logic) and a · b := a ∧ b. 이 링의 0 원소는 부울 대수의 0과 일치한다; 링의 승수 아이덴티티 요소는 부울 대수의 1이다. 이 링은 A의 모든 A에 대해 a · a = a라는 속성을 가지고 있으며, 이 속성을 가진 링을 부울 링이라고 한다.

반대로 부울 링 A가 주어지면 x ∨ y := x + y + (x · y)와 x ∧ y := x · y를 정의하여 부울 대수로 만들 수 있다.^[4][5] 이 두 개의 구조물은 서로 반대되기 때문에, 우리는 모든 부울 링은 부울 대수에서 발생하며, 그 반대도 부울 대수에서 발생한다고 말할 수 있다. 나아가 지도 f : A → B는 부울 링의 동형인 경우에만 부울 알헤브라의 동형이다. 부울 링과 부울 알헤브라의 범주는 동일하다.^[6]

Hsiang(1985)은 모든 부울 링에서 두 개의 임의 표현이 동일한 값을 나타내는지를 확인하는 규칙 기반 알고리즘을 부여했다. 보다 일반적으로는 부데, 주안노, 슈미트-쇼우(1989)가 임의의 부울링 표현 사이의 방정식을 풀 수 있는 알고리즘을 주었다. 부울 링과 부울 알헤브라의 유사성을 이용하여, 두 알고리즘 모두 자동화된 정리 입증에 응용할 수 있다.

이상과 필터

부울대수 A의 이상은 부분집합 I이다. 따라서 모든 x, y는 I에 x ∨ y가 있고, A는 모두 i x가 I에 있다. 이상에 대한 이러한 개념은 부울 링 A에서 이상에 대한 개념과 일치한다. A의 이상 I는 I ≠ A가 되고, I에서 ∧ b가 항상 I 또는 B를 의미하면 prime이라고 불린다. 더욱이, 모든 ∈ A에 대해 우리는 ∧ -a = 0 ∈ I, 그리고 ∈ I이 프라임이라면 ∧ I 또는 -a ∈ I을 가진다. A의 이상 I는 내가 ≠ A이면 maximal이라고 하고, 내가 제대로 들어 있는 이상만이 A 그 자체라면 maximal이라고 한다. 이상 I의 경우 if I과 -a ∉ I이면 I ∪ {a} 또는 I ∪ {-a}이(가) 또 다른 이상 J에 적절하게 포함되어 있다. 따라서 I는 최대치가 아니며 따라서 부울 알헤브라스에서 원시 이상과 최대 이상에 대한 개념은 동등하다. 게다가, 이러한 개념들은 부울 링 A에서 가장 이상적인 그리고 최대 이상의 고리 이론과 일치한다.

이상적인 것의 이중성은 필터다. 부울 대수 A의 필터는 모든 x, y에 대해 x x y를 p에, 그리고 모든 a에 대해 x x x를 p에 갖는 부분 집합 p이다. 부울 대수에서 최대 이상(또는 원시)의 이중은 초필터다. 울트라필터는 대안으로 A에서 2요소 부울 대수까지의 2-값 형태론이라고 설명할 수 있다. 부울 대수의 모든 필터는 울트라필터 정리(Ultrafilter Organization)로 확장될 수 있으며, ZF가 일관성이 있다면 ZF에서 증명할 수 없다. ZF 내에서는 선택의 공리보다 엄격히 약하다. 울트라필터 정리에는 많은 동등한 공식들이 있다: 모든 부울 대수는 초필터를 가지고 있고, 부울 대수의 모든 이상은 프라임 이상까지 확장될 수 있다.

표현

모든 유한 부울 대수는 유한 집합의 모든 하위 집합의 부울 대수에 대해 이형성이라는 것을 보여줄 수 있다. 따라서 모든 유한 부울대수의 원소 수는 2의 힘이다.

스톤이 부울 알헤브라를 위해 발표한 유명한 표현 정리에는 모든 부울 대수 A는 일부 (완전히 분리된 하우스도르프) 위상학적 공간에 있는 모든 클오픈 집합의 부울 대수학과는 이형성이 있다고 명시되어 있다.

공리학

검증된 특성
UId1 모든 x에 대해 x all o = x이면 o = 0 증명: x ∨ o = x인 경우 0 = 0 ∨ o 가정하여 = o ∨ 0 Cmm로1 = o 이든으로1	UId2 [dual] 모든 x에 대해 x ∧ i = x이면 i = 1
Idm1 x ∨ x = x 증명: x x x = (x ∨ x) ∧ 1 이든으로2 = (x ∨ x) ∧ (x ∨ ∨x) Cpl별1 = x ∨ (x ∧ ¬x) Dst로1 = x ∨ 0 Cpl별2 = x 이든으로1	Idm2 [dual] x ∧ x = x
Bnd1 x ∨ 1 = 1 증명: x ∨ 1 = (x ∨ 1) ∧ 1 이든으로2 = 1 ( (x ) Cmm로2 = (x ∨ ¬ x) ∧ (x ∨ 1) Cpl별1 = x ∨ (¬x ∧ 1) Dst로1 = x ∨ xx 이든으로2 = 1 Cpl별1	Bnd2 [듀얼] x ∧ 0 = 0
복근1 x ∨ (x ∧ y) = x 증명: x ∨ (x ∧ y) = (x ∧ 1) ∨ (x ∧ y) 이든으로2 = x ∧ (1 ∨ y) Dst로2 = x ∧ (y ∨ 1) Cmm로1 = x ∧ 1 bnd로1 = x 이든으로2	복근2 [듀얼] x ∧ (x ∨ y) = x
UNG xn ∨ xn = 1이고 x ∧ xn = 0이면 x = ¬x 증명: xn ∨ xn = 1이고 x ∧ x = 0이면 xn = xn ∧ 1 이든으로2 = xn ∧ (x ∨ ¬x) Cpl별1 = (xn ∧ x) ∨ (xn ∧ ∧x) Dst로2 = (x ∧ xn) ∨ (¬x ∧ xn) Cmm로2 = 0 ∨ (¬x ∧ xn) 가정하여 = (x ∧ ∧ x) ∨ (¬x ∧ xn) Cpl별2 = (¬x ∧ x) ∨ (¬x ∧ xn) Cmm로2 = ¬x ∧ (x ∨ xn) Dst로2 = ¬x ∧ 1 가정하여 = ¬x 이든으로2
DNg ¬¬x = x 증명: ¬x ∨ x = x ∨ ¬x = 1 by Cmm1, Cpl1 그리고 ¬x ∧ x = x ∧ ¬x = 0 by Cmm2, Cpl2 이 때문에 x = ¬¬x UNG로
A을1 x ∨(¬x ∨ y) = 1 증명: x ∨ (¬x ∨ y) = (x ∨ (¬x ∨ y)) ∧ 1 이든으로2 = 1∧ (x ∨ ( (x ∨ y)) Cmm로2 = (x ∨ ∨ x ∧) x (x ∨ ( y y)) Cpl별1 = x ∨ (¬x ∧ ( (x ∨ y)) Dst로1 = x ∨ xx 복근으로2 = 1 Cpl별1	A2 [듀얼] x ∧ (¬x ∧ y) = 0
B1 (x ∨ y) ∨ (¬x ∧ ∧y) = 1 증명: (x ∨ y) ∨ (¬x ∧ ∧y) = (x ∨ y) ∨ ∧ (x ∨ y) ∧ (x ∨ y) ∨y) Dst로1 = (¬x ∨ (x ∨ y)) ∧ (¬y ∨ (y ∨ x)) Cmm로1 = (¬x ∨ (¬¬x ∨ y)) ∧ (¬y ∨ ( (y ∨ x)) DNg로 = 1 ∧ 1 A에1 의해서 = 1 이든으로2	B2 [듀얼] (x ∧ y) ∧ (¬x ∨ ∨y) = 0
C1 (x ∨ y) ∧ (¬x ∧ ∧y) = 0 증명: (x ∨ y) ∧ (¬x ∧ ∧y) = (¬x ∧ ∧ yy) ∧ (x ∨ y) Cmm로2 = ((¬x ∧ ¬y) ∧ x) ∨ ((¬x ∧ ¬y) ∧ y) Dst로2 = (x ∧ (¬x ∧y yy)) ∨ (y ∧ ( (y ∧ ∧ xx)) Cmm로2 = 0 ∨ 0 A에2 의해서 = 0 이든으로1	C2 [dual] (x ∧ y) ∨ (¬x ∨ ∨y) = 1
DMG1 ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ∧y 증명: B11, C, UNG로	DMg2 [듀얼] ¬(x ∧ y) = ¬x ∨y
D1 (x∨(y∨z) ∨x xx = 1 증명: (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ∨ xx = ¬x ∨ (x ∨ (y ∨ z)) Cmm로1 = ¬x ∨ (¬¬x ∨ (y ∨ z)) DNg로 = 1 A에1 의해서	D2 [dual] (x∧(y∧z)) ∧ ∧ ¬x = 0
E1 y ∧(x∨(y∨z)) = y 증명: y ∧ (x ∨ (y ∨ z)) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ (y ∨ z)) Dst로2 = (y ∧ x) ∨ y 복근으로2 = y ∨ (y ∧ x) Cmm로1 = y 복근으로1	E2 [dual] y ∨ (x∧(y∧z)) = y
F1 (x∨(y∨z) ∨y =y = 1 증명: (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ∨ ¬y = ¬y ∨ (x ∨ (y ∨ z)) Cmm로1 = (¬y x (x ∨ (y ∨ z))) ∧ 1 이든으로2 = 1∧ (¬y) (xx (y ∨ z))) Cmm로2 = (y ∨ ¬y) ∧ (x ∨ (y ∨ z))) Cpl별1 = (¬y ∨ y) ∧ (xy ∨ (x ∨ (y ∨ z)))) Cmm로1 = ¬y ∨ (y ∧)(x ∨ (y ∨ z))) Dst로1 = ¬y ∨ y E로1 = y ∨ ¬y Cmm로1 = 1 Cpl별1	F2 [dual] (x∧(y∧z)) ∧y ∧y = 0
G1 (x∨(y∨z) ∨z ¬z = 1 증명: (x ∨ (y ∨ z)) ∨ ∨ zz = (x ∨ (z ∨ y)) ∨ ∨ zz Cmm로1 = 1 F로1	G2 [dual] (x∧(y∧z)) ∧ ¬ 0z = 0
H1 ¬(x∨y)∨z x x = 0 증명: ¬(x ∨ y) ∨ z) ∧ x = (¬(x ∨ y) ∧ ∧z) x x DMG로1 = ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z) ∧ x DMG로1 = x ∧ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z) Cmm로2 = (x ∧ ((¬x ∧ ¬y) ∧ ¬z)) ∨ 0 이든으로1 = 0 ∨ (x ∧ (((x ∧y ∧y) ∧z)) Cmm로1 = (x ∧ x x) ∨ (x ∧ ((yx ∧ ∧ yy) ∧z)) Cpl별2 = x ∧ (¬x ∨y (((x ∧y yy) ∧z)) Dst로2 = x ∧ (¬x ∨ (¬z ∧ ( (x ∧y ∧y))) Cmm로2 = x ∧ xx E로2 = 0 Cpl별2	H2 [듀얼] ¬(x∧y)∧z) ) x = 1
I1 ¬(x∨y)∨ y y = 0 증명: ¬(x ∨ y) ∨ z) ∧ y = ¬(y ∨ x) ∨ y y Cmm로1 = 0 H로1	I2 [듀얼] ¬(x∧y)∧zz) ∨ y = 1
J1 ¬(x∨y)∨z ∧ z = 0 증명: ¬(x ∨ y) ∨ z) ∧ z = (¬(x ∨ y) ∧ ∧z) z DMG로1 = z ∧ (x ∨ y) ∧ ∧z) Cmm로2 = z ∧ ( zz ∧ ¬(x y y)) Cmm로2 = 0 A에2 의해서	J2 [듀얼] ¬(x∧y)∧z) ∨ z = 1
K1 (x ∨ (y ∨ z) ∨ (x ∨ y) ∨ z) = 1 증명: (x∨(y∨z) ∨(x ∨ y) ∨ z) = (x∨(y∨z)) ∨ (¬(x ∨ y) ∧z) DMG로1 = (x∨(y∨z)) ∨ ((xx ∧y ∧y) ∧z) DMG로1 = (x∨(y∨z)) ( (xx ∧ ∧ ∧) ( (x∨(y∨z)) ∨z) Dst로1 = ((x∨(y∨z) ∨x) ∧(x) ∧(z) ∨(y) ∨) ∧(x) ∧) ∧(x) ∧) ∧(∨) )) Dst로1 = (1 ∧ 1) ∧ 1 D1,F1,G로1 = 1 이든으로2	K2 [dual] (x ∧ (y ∧ z)) ∧ (x ∧ y) ∧ (x ∧ y) ∧ z) = 0
L1 (x ∨ (y ∨ z) ∧ (x ∨ y) ∨ z) = 0 증명: (x ∨ (y ∨ z) ∧ (x ∨ y) ∨ z) = ¬(x∨y)∨z)x (x∨ (y ∨ z)) Cmm로2 = (¬(x∨y)∨z) ∧(x∨y)∨(x∨y)∨z))(y¬)∧ (y ∨ z)) Dst로2 = (¬ (x∨y)∨z) ∧ (¬ (x (y)∨z) y (() y (¬) y (() y ())∨z)) z))) Dst로2 = 0 ∨ (0 ∨ 0) H11, I, J로1 = 0 이든으로1	L2 [dual] (x ∧ (y ∧ z)) ∨ ((x y y) = z) = 1
엉덩이1 x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z 증명: K1, L1, UNg, DNg에 의해	As2 [dual] x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z
약어 UId 유니크 아이덴티티 Idm 이뎀포텐스 Bnd 경계 복근 흡수법 UNG 유니크 부정 DNg 이중 부정 DMG 드 모건의 법칙 엉덩이 연관성

헌팅턴 1904 부울 대수 공리
딘1	x ∨ 0 = x	딘2	x ∧ 1 = x
Cmm1	x ∨ y = y ∨ x	Cmm2	x ∧ y = y ∧ x
Dst1	x ∨ (y∧z) = (x∨y) ∧ (x∨z)	Dst2	x ∧ (y∨z) = (x∧y) ∨ (x∧z)
Cpl1	x ∨ ¬x = 1	Cpl2	x ∧ ¬x = 0
약어 딘 아이덴티티 Cmm 동시성 Dst 분배성 Cpl 보완

일반적으로 부울 격자/알게브라의 첫 번째 공리화는 1898년 영국의 철학자 겸 수학자 알프레드 노스 화이트헤드에 의해 주어졌다.^[7][8] 그것은 위의 공리와 추가로 x∨1=1과 x∧0=0을 포함했다. 1904년 미국의 수학자 에드워드 5세. 헌팅턴(1874–1952)은 아마도 ∧, ∨, ¬에 근거한 가장 패러시모니적인 공리화를 주었을 것이며, 심지어 연상법(상자 참조)^[9]을 증명하기도 했다. 그는 또한 이러한 공리들이 서로 독립적이라는 것을 증명했다.^[10] 1933년 헌팅턴은 부울대수를 위해 다음과 같은 우아한 공리화를 시작했다.^[11] 단 하나의 이진 연산 +와 단일한 기능 기호 n을 '완료'로 읽으면 다음과 같은 법칙을 충족시킨다.

1. 동일률: x + y = y + x
2. 연관성: (x + y) + z = x + (y + z)
3. 헌팅턴 방정식: n(n(x) + y) + n(x) + n(y) = x.

허버트 로빈스는 즉시 이렇게 물었다. 헌팅턴 방정식을 이중 방정식으로 대체하면 다음과 같다.

4. 로빈스 방정식: n(n(x + y) + n(x + n(y)) = x,

부울대수의 기초를 이루는가? 로빈스 대수학 (1), (2), (4)을 부르면 그 질문은 다음과 같이 된다. 모든 로빈스 대수학은 부울 대수인가? (로빈스 추측으로 알려진) 이 질문은 수십 년 동안 계속 열려 있었고, 알프레드 타르스키와 그의 학생들이 가장 좋아하는 질문이 되었다. 1996년 래리 워스, 스티브 윙커, 밥 베로프의 초기 연구를 토대로 한 아르곤네 국립 연구소의 윌리엄 맥쿤은 로빈스의 질문에 긍정적으로 대답했다. 모든 로빈스 대수학은 부울 대수학이다. McCune의 증거에 결정적인 것은 그가 디자인한 컴퓨터 프로그램 EQP였다. McCune의 증거를 단순화하려면 Dan(1998년)을 참조하십시오.

공리 수를 줄이기 위한 추가 작업이 수행되었다. 부울 대수에 대한 최소 공리를 참조하십시오.

일반화

대수구조
그룹다운 그룹 세미그룹 / 모노이드 랙 앤 퀀들 Quas그룹과 루프 아벨 군 마그마 거짓말군 집단 이론
반지 같은 울리다 Rng 세미닝 근링 정류 링 통합 도메인 밭 디비전 링 리 링 링 이론
격자 모양의 격자 세미라티체 보완 격자 총순번 헤이팅 대수 부울 대수 선반 지도 격자 이론
모듈형 모듈 연산자와 그룹화 벡터 공간 선형대수학
대수적 유사 대수학 연상적 비연관적 구성 대수 리 대수 등급이 매겨진 바이알게브라 호프 대수
v t

부울 대수 공리에서 단위의 존재 요건을 제거하면 "일반화된 부울 알헤브라스"가 발생한다. 형식적으로, 분배 격자 B는 일반화된 부울 격자인데, 만약 그것이 가장 작은 원소 0과 B의 어떤 원소 a와 b를 가지고 있다면, ∧ x = 0과 ∨ x = b와 같은 원소 x가 존재한다. ∖ b를 (a ∨ b) ∨ x = a와 ( ( b) ∧ x = 0과 같은 고유한 x로 정의하면, 구조(B, ,, ,, ,, ,, ,, ,,0)는 일반화된 부울 반음수라고 한다. 일반화된 부울 격자는 정확히 부울 격자의 이상이다.

두 개의 분포도 공리를 제외한 부울 알헤브라의 모든 공리를 만족시키는 구조를 직교배열 격자라 한다. 직교 증식 래티스는 분리 가능한 힐버트 공간에 대한 닫힌 서브스페이스의 격자로 양자논리에서 자연적으로 발생한다.

참고 항목

메모들

참조

인용된 작품

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일반참조

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

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외부 링크

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• Weisstein, Eric W. "Boolean Algebra". MathWorld.