브래킷(수학)

수학에서는 괄호 ( ), 대괄호 [ ], 가새 { }, 대괄호 ⟨ 등 다양한 활자 형태의 괄호가 수학 표기법에서 자주 사용된다.일반적으로, 그러한 분류는 어떤 형태의 그룹화를 나타낸다. 즉, 괄호로 묶인 하위표현을 포함하는 식을 평가할 때, 하위표현의 연산자가 그 주변 사람들보다 우선한다.때로는 읽기의 명료함을 위해 다른 종류의 괄호를 사용하여 하위표현의 깊은 보금자리를 가진 하나의 표현으로 동일한 우선순위의 의미를 표현하기도 한다.^[1]

역사적으로, 빈쿨룸과 같은 다른 표기들은 유사하게 그룹화에 사용되었다.오늘날 사용에서, 이러한 명언들은 모두 특정한 의미를 가지고 있다.집계를 나타내기 위해 괄호를 가장 먼저 사용한 것은 1608년 크리스토퍼 클라비우스(Christopher Clavius)에 의해, 1629년 알버트 지라르(Albert Girard)^[2]에 의해 제안되었다.

대괄호 표시 기호

다양한 기호가 각괄호를 나타내기 위해 사용된다.전자우편 및 기타 ASCII 텍스트에서는 다음보다 적은(-)을 사용하는 것이 일반적이다.<) 및 그 이상의 (>) ASCII는 각도 대괄호를 포함하지 않기 때문에 대괄호를 나타내는 기호.^[3]

유니코드는 전용 문자 쌍을 가지고 있다. 이하 및 보다 큰 기호를 제외하고 다음과 같다.

U+27E8 ⟨ 수학적 좌측 각도 브래킷 및 U+27E9 ⟩ 수학적 우측 각도 브래킷
U+29FC ⧼ 왼쪽 포인팅 곡면 브래킷 및 U+29FD ⧽ 오른쪽 포인팅 곡면 브래킷
U+2991 ⦑ DOT 포함 좌측 각도 브래킷 및 U+2992 ⦒ 우측 각도 브래킷
U+27EA ⟪ 수학적 좌측 더블 앵글 브래킷 및 U+27EB ⟫ 수학적 우측 더블 앵글 브래킷
U^[4]+2329 〈 왼쪽 포인팅 앵글 브래킷 및 U+232A right 오른쪽 포인팅 앵글 브래킷, 더 이상 사용되지 않음

LaTeX에서 마크업은\langle그리고\rangle: $\langle \ \rangle$ $\langle \ \rangle$ ${\displaystyle \langle \angle$ $\langle \ \rangle$

비수학적 각도 브래킷에는 다음이 포함된다.

U+3008 〈왼쪽 앵글 브래킷과 U+3009〉 오른쪽 앵글 브래킷, 동아시아 텍스트 인용에 사용된다.
U+276C ❬ 중좌측점각괄호장식 및 U+276D 중좌측점각괄호장식, 딩배트인 중좌측점각괄호장식

라인 두께가 커진 추가 딩배트가 있고,^[5] 일부 각도 따옴표와 사용되지 않는 문자가 있다.

대수학

초등 대수학에서는 괄호( )를 사용하여 연산 순서를 지정한다.^[1]브래킷 내부의 항을 먼저 평가하여 2×(3 + 4)가 14이고, 따라서 20㎛(1 + 1)가 2이고, (2×3) + 4가 10이다.이 표기법은 변수를 포함하는 더 일반적인 대수학(예: ( $x$ + $y)$ × $(x$ - $y$ )을 포함하도록 확장되었다 $.$ 대괄호는 또한 두 번째 괄호가 내포되었을 때, 시각적 구분을 제공하기 위해 종종 두 번째 괄호 세트 대신 사용된다.

일반적으로 수학 표현에서는 모호성을 피하고 명료성을 높이기 위해 필요할 때 괄호를 사용하여 그룹화(즉, 어떤 부분이 함께 속하는지)를 표시하기도 한다.For example, in the formula $(\varepsilon \eta )_{X}=\varepsilon _{Cod\,\eta _{X}}\eta _{X}$ , used in the definition of composition of two natural transformations, the parentheses around $\varepsilon \eta$ serve to indicate that the indexing by ${\$ $displaystyle$ X}은(는 $)$ 마지막 구성 요소 { {\ $displaystyle \varepsilon \eta }$ 이 $\varepsilon \eta$ 가) 아닌 구성 $\varepsilon \eta$ $\eta$ 에 적용된다 $X$ $\eta$

기능들

함수에 대한 인수는 $f(x)$ f $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ {\ $displaystyle$ f $(x)}$ 괄호로 둘러싸여 있다 $f(x)$ 모호할 가능성이 거의 없을 때는 인수 주변의 괄호를 모두 생략하는 것이 일반적이다(예: $\sin x$ x ${\displaystyle \sin$ x $}).$

좌표 및 벡터

데카르트 좌표계에서는 점의 좌표를 지정하는 데 대괄호가 사용된다.예를 들어, (2,3)는 x 좌표 2와 y 좌표 3으로 점을 나타낸다.

두 벡터의 내부 제품은 $\langle a,b\rangle$ 으로 $\langle a,b\rangle$ a $\langle a,b\rangle$ , $\langle a,b\rangle$ $\langle a,b\rangle$ ${\displaystyle \langle a,b\angle$ $\langle a,b\rangle$ 로 표기되지만 표기법(a, b)도 사용된다.

간격

괄호, ( ) 및 대괄호, [ ], 두 개의 괄호 모두 간격을 나타내는 데 사용할 수 있다.표기법 $[a,c)$ [ $[a,c)$ , c $[a,c)$ ) {\ $displaystyle$ [ $a,c)}$ 은 $($ 는) {\ $displaystyle a}$ 을(를) 포함하지만 $a$ $c$ $c$ 은(는) 제외된 a에서 c까지의 간격을 나타내기 $[a,c)$ 위해 사용된다 $c$ 즉 $[5,12)$ [ $[5,12)$ , $[5,12)$ ) ${\displaystyle [5,12]$ 은(는) 12가 아닌 5를 포함하여 5와 12 사이의 모든 실제 숫자의 집합이 $[5,12)$ 될 것이다.여기서 11.999 등(제한된 수 9s 포함)을 포함하여 12에 원하는 만큼 숫자가 근접할 수 있지만 12.0은 포함되지 않는다.

일부 유럽 국가에서는 표기법 $[5,12[$ [ $[5,12[$ , ${\displaystyle [5,12[}]$ 도 이에 $[5,12[$ 사용되며, 쉼표를 소수 구분 기호로 사용하는 곳이라면 모호성을 피하기 위해 세미콜론을 구분 기호로 사용할 수 있다(예: ( $(0;1)$ ; $(0;1)$ ) ${\displaystyle (0;$ 1)). $(0;1)$ ^[6]

대괄호 옆에 붙어 있는 끝점을 닫힌 것으로 하고 괄호 옆에 붙어 있는 끝점을 열린 것으로 한다.두 가지 유형의 괄호가 동일한 경우 전체 간격을 적절하게 닫힘 또는 개방으로 나타낼 수 있다.무한대 또는 음의 무한대가 엔드포인트로 사용될 때마다(실수 라인의 간격의 경우), 항상 열려 있고 괄호 안에 결합되어 있는 것으로 간주된다.확장된 실수 라인에서 간격을 고려할 때 엔드포인트를 닫을 수 있다.

이산수학에서 일반적인 관례는 [ $[n]$ ${\displaystyle$ [ $n$ $]$ 을 $n$ $n$ 보다 작거나 같은 $\{1,2,3,4,5\}$ 의 정수 숫자의 집합으로 정의하는 $[n]$ 것이다 $n$ 즉, [ $5$ $\{1,2,3,4,5\}$ $]$ ${\displaystyle$ [5 $]$ 은 $[5]$ {1, $\{1,2,3,4,5\}$ , $\{1,2,3,4,5\}$ , $\{1,2,3,4,5\}$ , 5 $\{1,2,3,4,5\}$ ${\displaystystyle \{1,2,4,5\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 에 해당된다 $\{1,2,3,4,5\}$

세트 및 그룹

교정기 { }은(는) 세트의 요소를 식별하는 데 사용된다.예를 들어, {a,b,c}은(는) a,b,c의 세 요소 집합을 의미한다.

각괄호 ⟨ ⟩은 그룹표현을 명시하고, 원소 집합에 의해 생성되는 부분군이나 이상을 나타내기 위해 그룹 이론과 정류 대수에서 사용된다.

행렬

명시적으로 지정된 행렬은 일반적으로 큰 원형 또는 대괄호 사이에 기록된다.

{\pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\d}\nd{bmatrix}\nd{bmatrix}}}

파생상품

표기법

f^{(n)}(x)

stands for the n-th derivative of function f, applied to argument x. So, for example, if $f(x)=\exp(\lambda x)$ , then $f^{(n)}(x)=\lambda ^{n}\exp(\lambda x)$ . $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ 은 f $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ( $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ x $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ) $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ = $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ( $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ f $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ( $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ( $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ) $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ … $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ) … $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ ) ${\displaystyle f^{n}(x)=f(\ldots (f(x)\ldots$ $f^{n}(x)=f(f(\ldots (f(x))\ldots ))$ 인수 x에 f를 n-fold로 적용하는 것과 대조된다.

하강 및 상승 요인

표기법 $(x)_{n}$ ) $(x)_{n}$ ${\$ 은(는) 다음과 같이 정의한 n-th 다항식인 하강요인을 나타내는 데 사용된다 $(x)_{n}$ .

(x)_{n}=x(x-1)\cdots(x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}.

또는 "포하머 기호"라고도 하는 상승요인을 나타내는 것과 동일한 표기법이 발생할 수 있다.같은 것에 대한 다른 표기법은 $x^{(n)}$ ( $x^{(n)}$ ) ${\$ 이다 $x^{(n)}$ 이 표기법은 다음과 같이 정의될 수 있다.

x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}.

양자역학

양자역학에서는 브라 brackets A[\ $displaystyle \left\langle A\right}$ 와 $\left\langle A\right|$ $\left|B\right\rangle$ B $\left|B\right\rangle$ ${\$ }의 이중 공간에서 벡터를 나타내기 위해 Dirac의 형식주의 브라켓 표기법의 일부로서도 사용된다 $\left|B\right\rangle$

통계 역학에서 각괄호는 앙상블 또는 시간 평균을 나타낸다.

다항 링

대괄호는 다항식 링에 변수를 포함하기 위해 사용된다.예를 들어 $\mathbb {R} [x]$ [ $\mathbb {R} [x]$ $\mathbb {R} [x]$ $\mathb {R$ [ $x]}$ 은(는) 실제 숫자 계수와 변수 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 을(를) 가진 다항식의 링이다 $\mathbb{R}[x]$ $x$ ^[7]

요소 또는 요소 집합에 의해 생성된 하위 문자열

$A$ 가 링 $B$ 의 서브링이고 $b$ 가 $B$ 의 요소라면, $A$ [ $b]$ 는 A와 $b$ 가 생성하는 $B$ 의 서브링을 의미한다.이 서브링은 $A$ 와 $b$ 의 원소에서 시작하여 반복적인 덧셈과 곱셈을 통해 얻을 수 있는 모든 원소로 구성된다. 동등하게 $A$ 와 $b$ 를 포함하는 $B$ 의 가장 작은 서브링이다.For example, $\mathbf {Z} [{\sqrt {-2}}]$ is the smallest subring of $C$ containing all the integers and ${\sqrt {-2}}$ ; it consists of all numbers of the form $m+n{\sqrt {-2}}$ , where $m$ and $n$ are arbitrary integers.다른 예: $\mathbf {Z} [1/2]$ [ 1 $\mathbf {Z} [1/2]$ / $\mathbf {Z} [1/2]$ $\mathbf {Z} [1/2]$ $\mathbf {Z$ [ $1/2]}$ 은 분모가 $2인$ 모든 합리적인 숫자로 구성된 $Q$ 의 서브링이다 $\mathbf {Z} [1/2]$ .

More generally, if $A$ is a subring of a ring $B$ , and $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$ , then $A[b_{1},\ldots ,b_{n}]$ denotes the subring of $B$ generated by $A$ and $b_{1},\ldots ,b_{n}\in B$ . Even more generally, if $S$ 는 $B$ 의 하위 집합이고, $A [S]$ 는 $A$ 와 $S$ 에 의해 생성된 $B$ 의 하위 집합이다.

리브 브래킷 및 정류자

집단 이론과 고리 이론에서 대괄호는 정류자를 나타내기 위해 사용된다.집단 이론에서 정류자 [g,h]는 일반적으로 ghgh로⁻¹⁻¹ 정의된다.링 이론에서 정류자 [a,b]는 ab - ba로 정의된다.또한 교정기를 사용하여 안티코무터를 나타낼 수 있다: {a,b}은(는) ab + ba로 정의된다.

Lie 대수의 Lie Bracket은 [ $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ , $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ : $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ → $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ${\$ 로 나타내는 이진 연산이다. ${\mathfrak{g}\time {\mathfrak{g}\mathfrak{g$ 정류자를 Lie 괄호로 사용함으로써 모든 연관 대수학을 Lie 대수학으로 바꿀 수 있다.다양한 형태의 Lie Bracket, 특히 Lie 파생상품과 Jacobi-가 있다.눕다.

바닥/천장 기능 및 부분 부분

$[$ brackets] = $3과$ 같이 대괄호는 실수를 다음 정수로 반올림하는 바닥 기능을 나타내기 위해 사용되기도 한다.각각 $]π[$ = $4$ 와 같이 천장 기능을 나타내기 위해 바깥쪽으로 가리키는 대괄호를 사용하는 저자도 있다.그러나 바닥 및 천장 기능은 대개 $usuallyπ =$ 3 $또는$ $⌈π⌉$ = $4$ 와 같이 하단(바닥 기능용) 또는 상단(천장 기능용) 수평 막대만 표시되는 좌우 대괄호로 활자화한다.

교정기는 ${message} 7$ < /에서와 같이 실제 숫자의 분수 부분을 나타낼 수 있다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b Russell, Deb. "When and Where to Use Parentheses, Braces, and Brackets in Math". ThoughtCo. Archived from the original on 2017-07-08. Retrieved 2020-08-09.
^ 카조리, 플로리안 1980.수학의 역사.뉴욕: 첼시 출판, 158페이지
^ Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary, MIT Press, p. 41, ISBN 9780262680929.
^ "Miscellaneous Technical" (PDF). unicode.org.
^ "Dingbats". unicode.org. 2020-04-25. Retrieved 2020-04-25.
^ "Interval Notation Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-09.
^ Stewart, Ian (1995). Concepts of Modern Mathematics. Dover Publications. p. 90. ISBN 9780486284248.

[:1-1] Russell, Deb. "When and Where to Use Parentheses, Braces, and Brackets in Math". ThoughtCo. Archived from the original on 2017-07-08. Retrieved 2020-08-09.

[2] 카조리, 플로리안 1980.수학의 역사.뉴욕: 첼시 출판, 158페이지

[3] Raymond, Eric S. (1996), The New Hacker's Dictionary, MIT Press, p. 41, ISBN 9780262680929.

[4] "Miscellaneous Technical" (PDF). unicode.org.

[5] "Dingbats". unicode.org. 2020-04-25. Retrieved 2020-04-25.

[6] "Interval Notation Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-09.

[7] Stewart, Ian (1995). Concepts of Modern Mathematics. Dover Publications. p. 90. ISBN 9780486284248.

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