브래킷 다항식

매듭 이론의 수학적 분야에서 브라켓 다항식(Kauffman bracket)은 프레임 링크의 다항식 불변성이다.비록 매듭이나 링크의 불변성은 아니지만(타입 I 레이데미스터의 움직임에 따라 불변성이 아니기 때문에), 적절히 "정상화된" 버전은 존스 다항식이라고 불리는 유명한 불변성을 산출한다.브래킷 다항식은 존스 다항식을 다른 양자 불변제와 통합하는 데 중요한 역할을 한다.특히 카우프만의 존스 다항식 해석은 3마니폴드의 불변성을 일반화할 수 있게 한다.

브래킷 다항식은 1987년 루이스 카우프만에 의해 발견되었다.

정의

$⟨{\displaystyle }$ $⟩{\$$displaystyle L$$}$로 표시된$$링크 다이어그램 $L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\backslash$$langle L\rangele$}의 브래킷 다항식은 다음 세 가지 규칙이 특징인 $변수{\displaystyle }$ A ${\\displaystyle A}$의 다항식이다$.$

• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle ⟩}$= 1 ${\displaystyle \langle \bigcircle$ =1}, $여기서 =$${\displaystyle \bigcircle }$은(는$){\displaystyle }$ Unknot의 표준 다이어그램이다$.$
• 
• $\displaystyle \langle \bigcircle \sqcup L\rangele =(-A^{2}-A^{-2})\langle L\rangele }$

두 번째 규칙의 그림은 그림과 같이 디스크 내부에서 다르지만 외부에서는 동일한 링크 다이어그램의 대괄호를 나타낸다.세 번째 규칙은 다이어그램의 나머지 부분에서 원 분리형을 ${\displaystyle {}^{}}$하면 나머지 다이어그램의 브래킷이 -${\displaystyle {A\mathrm{}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 2^{}}${\$displaystyle -A^{2}-A^{-2}}$배로 증가한다는 것을 의미한다$.$

추가 읽기

• Louis H. Kauffman, State models and Jones 다항식.토폴로지 26(1987), 번호 3, 395-407(브래킷 다항식 소개)

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Bracket Polynomial". MathWorld.