서클패킹

기하학에서 원 패킹은 겹치지 않고 원이 겹치지 않고 확대되지 않도록 주어진 표면에 원(동일하거나 크기가 다른 것)의 배열을 연구하는 학문이다. 배열의 관련 패킹 밀도 is은 원이 덮고 있는 표면의 비율이다. 일반화는 더 높은 차원으로 만들어질 수 있다 – 이것은 보통 동일한 구만을 다루는 구체 패킹이라고 불린다.

일반적으로 "원형 패킹"으로 알려진 수학의 가지들은 임의 크기의 원의 패킹의 기하학 및 결합과 관련이 있다: 이것들은 등호 지도, 리만 표면 등의 별개의 유사점을 낳는다.

밀레스티스트 패킹

2차원 유클리드 평면에서 1773년 조셉 루이 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)는 원의 가장 높은 밀도 격자 포장이 ^[1]육각형 격자(벌집처럼 줄무늬가 있는 행)로 되어 있고 각 원은 6개의 다른 원들로 둘러싸여 있다는 것을 증명했다. 지름 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ 및 측면$$ $길이{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$의 원에는 각각 6각 영역과 원 영역이 있다$.$

${\displaystyle A_{H}={\tfrac{3{\sqrt{3}}{2}}D^{2}}$

${\displaystyle A_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\pi \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle D{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

원별로 각 육각형 내에 포함되는 영역은 다음과 같다.

${\$$HC}=3A_{C}={\tfrac {3\pi }{4}D^{2$

마지막으로 패킹 밀도는 다음과 같다.

$\displaystyle \eta =A_{HC}/A_{H}={\frac {3\pi }{4}{4}D^{2}{\big /}{\frac {3{\sqrt{3}}}{2}}D^{2}={\frac {\pi{3}}}}}}}}}}}{6}}}}}}}\약 0.9069.$

악셀 투에는 1890년에 격자 포장만이 아닌 모든 포장 중에서 이 같은 밀도가 최적이라는 증거를 발표했지만, 몇몇 사람들에 의해 그의 증거는 불완전하다고 여겨졌다. 첫 번째 엄격한 증거는 1942년 라슬로 페제스 토스에 기인한다.^[1][2]

반면 원들을 상대적으로 낮은 최대 충전 밀도 하고,centrally-symmetric 볼록 모양의 경우라도:smoothed 8각형에 대해 0.902414의 포장용는 밀도centrally-symmetric 볼록 모양을 알려 진 작은 가능할 것으로 추측할 작은 가장 낮은 가지지 않는다.오목 모양 su의[3](포장 밀도이다.ch 별 다각형은 임의로 작을 수 있으므로).

기타패킹

다른 극단에서는, Böröczky가 임의로 단단하게 포장된 원의 저밀도 배치가 존재함을 보여주었다.^[4][5]

비행기의 11개의 획일적인 기울기를 바탕으로 한 11개의 원 패킹이 있다.^[7] 이러한 패킹에서 모든 원은 반사와 회전에 의해 다른 원들에 매핑될 수 있다. 육각 간격은 원 1개로 채울 수 있고 도각 간격은 원 7개로 채울 수 있어 3개 균일 패킹을 만들 수 있다. 두 가지 유형의 간극이 모두 있는 잘린 3헥사형 타일링은 4-제일 패킹으로 채울 수 있다. 스너브 육각 타일링에는 두 개의 거울-이미지 형태가 있다.

구상에

관련 문제는 주어진 표면 내에 위치하도록 제약되는 동일하게 상호작용하는 지점의 최저 에너지 배치를 결정하는 것이다. 톰슨 문제는 구 표면에서 동일한 전하의 최저 에너지 분배를 다룬다. 탐메스 문제는 이것을 일반화하는 것으로 구체에서 원 사이의 최소 거리를 최대화하는 것을 다룬다. 이것은 구에 비점 전하를 분배하는 것과 유사하다.

경계 영역

단순한 경계 모양의 원들을 포장하는 것은 레크리에이션 수학에서 흔한 유형의 문제다. 용기벽의 영향이 중요하며, 일반적으로 적은 수의 원에는 육각형 패킹이 최적이 아니다. 연구된 이 유형의 구체적인 문제에는 다음이 포함된다.

• 원을 그리며 포장
• 사각형의 원 패킹
• 등변 삼각형에서의 원 패킹
• 이등변 직각 삼각형에서의 원 패킹

자세한 내용은 링크된 문서를 참조하십시오.

불평등원

또한 원의 크기가 균일하지 않게 하는 다양한 문제들이 있다. 그러한 확장 중 하나는 두 개의 특정 크기의 원(이진 시스템)을 가진 시스템의 가능한 최대 밀도를 찾는 것이다. 단지 9개의 특정 반지름 비율만이 콤팩트 패킹을 허용하는데, 이는 접촉하는 모든 원들이 다른 원 두 개와 상호 접촉할 때(원 중심에서 원 중심까지의 선 세그먼트를 그릴 때, 그들은 표면을 삼각형)이다.^[6] 이러한 모든 반지름 비율에 대해 해당 반지름 비율을 가진 디스크의 혼합물에 대해 가능한 최대 패킹 비율(일률적인 크기의 디스크 위)을 달성하는 콤팩트 패킹이 알려져 있다.^[8] 9개 모두 콤팩트 패킹이 없는 일부 반지름 비율처럼 균일한 육각형 패킹보다 비율별 패킹 밀도가 더 높다.^[9]

또한 반지름 비율이 0.742를 넘으면 이항 혼합물이 균일한 크기의 디스크보다 잘 포장될 수 없는 것으로 알려져 있다.^[7] 이러한 이항 패킹에서 더 작은 비율로 얻을 수 있는 밀도에 대한 상한도 얻었다.^[10]

적용들

4차 진폭 변조는 위상 진폭 공간 내에서 원형으로 포장된 원을 기반으로 한다. 모뎀은 2차원 위상 증폭면에서 일련의 점으로 데이터를 전송한다. 지점 사이의 간격은 변속기의 소음 공차를 결정하는 반면, 원곡선 원 직경은 필요한 송신기 전력을 결정한다. 성능은 코드 포인트의 별자리가 효율적인 원 패킹의 중심에 있을 때 극대화된다. 실제로 부최적 직사각형 패킹은 흔히 해독을 단순화하기 위해 사용된다.

서클패킹은 종이접기 디자인에서 필수적인 도구가 되었다. 종이접기 도형의 각각의 부록은 종이 원을 필요로 하기 때문이다.^[11] Robert J. Lang은 복잡한 종이접기 형상의 디자인을 돕는 컴퓨터 프로그램을 개발하기 위해 서클 패킹의 수학을 사용해 왔다.

참고 항목

• 아폴로니안 개스킷
• 사각형의 원 패킹
• 원을 그리며 포장
• 역행 거리
• 케플러 추측
• 말파티 서클
• 패킹문제

참조

참고 문헌 목록

• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 30–31, 167. ISBN 0-14-011813-6.
• Stephenson, Kenneth (December 2003). "Circle Packing: A Mathematical Tale" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 50 (11).