데이비드 힐베르트

David Hilbert
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데이비드 힐베르트
1912년 힐베르트
태어난(1862-01-23) 1862년 1월 23일
프로이센의 쾨니히스베르크 또는 벨라우
죽은1943년 2월 14일 (1943-02-14) (81세)
괴팅겐
교육쾨니히스베르크 대학교 (PhD)
유명한힐베르트 기저 정리
힐베르트 널스텔렌사츠
힐베르트의 공리
힐베르트의 문제
힐베르트의 프로그램
아인슈타인-힐베르트 작용
힐베르트 공간
힐베르트 체계
엡실론 미적분학
배우자.Käthe Jerosch
아이들.프란츠 (b. 1893)
상로바체프스키상 (1903)
볼랴이상 (1910)
MemRS의 경우[1]
과학경력
필드수학, 물리학, 철학
기관쾨니히스베르크 대학교
괴팅겐 대학교
논문특수이진형태, 특히 구면함수의 불변특성에 관한 연구 (1885)
박사지도교수페르디난트 폰 린데만[2]
박사과정생
다른유명한학생들에드워드 카스너
존 폰 노이만

데이비드 힐버트(/ ˈh ɪlb ərt/; 독일어:ˈ다 ː프 ɪ트 ˈ흐 ɪlb ɐ트(, 1862년 1월 23일 ~ 1943년 2월 14일)는 독일의 수학자로 19세기와 20세기 초에 가장 영향력 있는 수학자 중 한 명입니다. 힐베르트는 불변 이론, 변분법의 미적분학, 교환 대수학, 대수적 수론, 기하학의 기초, 연산자의 스펙트럼 이론과 적분 방정식, 수학 물리학에 대한 응용을 포함한 광범위한 기본 개념을 발견하고 개발했습니다. 그리고 수학의 기초(특히 증명 이론).

힐베르트는 게오르크 칸토어의 집합론과 반무한수를 채택하고 옹호했습니다. 1900년에 그는 20세기 수학 연구의 방향을 설정한 문제 모음을 발표했습니다.[4][5]

힐버트와 그의 학생들은 엄격함을 확립하는데 기여했고 현대 수학 물리학에서 사용되는 중요한 도구를 개발했습니다. 힐버트는 증명 이론과 수학 논리학의 창시자 중 한 명이었습니다.[6]

인생

초기의 삶과 교육

오토와 마리아 테레즈 힐베르트의 외동아들인 힐베르트는 프로이센 왕국 프로이센 지방에서 태어났으며, 쾨니히스베르크(힐베르트 자신의 진술에 따르면) 또는 쾨니히스베르크 근처의 웨라우(1946년부터 즈나멘스크로 알려짐)에서 태어났다.[7]

1872년 말, 힐베르트는 프리드리히스콜레그 체육관(이마누엘 칸트가 140년 전에 다녔던 학교인 프리드리히아눔 대학)에 들어갔지만, 불행한 시기를 보낸 후, 1879년 말에 빌헬름 체육관으로 옮겨 1880년 초에 졸업했습니다.[8] 1880년 가을, 힐베르트는 쾨니히스베르크 대학교에 입학했습니다. 1882년 초, 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)는 쾨니히스베르크 출신이지만 3학기 동안 베를린에 다녔습니다.[9] 힐버트는 수줍음이 많고 재능 있는 민코프스키와 평생의 우정을 쌓았습니다.[10][11]

직업

1886년 힐베르트
1907년 힐베르트

1884년, 아돌프 후르비츠는 괴팅겐에서 부교수(즉 부교수)로서 도착했습니다. 세 사람 사이에 강렬하고 알찬 과학적 교류가 시작되었고, 특히 민코프스키와 힐베르트는 과학 경력에서 다양한 시간에 서로에게 상호 영향력을 행사했습니다. 1885년, 힐베르트는 페르디난트 폰 린데만의 논문으로 박사 학위를 취득했습니다.[2] "특수 쌍성 형태, 특히 구면 조화 함수의 불변 특성에 대하여"라는 제목의 논문을 발표했습니다.

힐베르트는 1886년부터 1895년까지 쾨니히스베르크 대학교의 수석 강사로 재직했습니다. 1895년 펠릭스 클라인이 그를 대신하여 개입한 결과 괴팅겐 대학교의 수학 교수직을 얻었습니다. 클라인과 힐베르트 시대에 괴팅겐은 수학계에서 탁월한 기관이 되었습니다.[12] 그는 평생 그곳에 머물렀습니다.

괴팅겐에 있는 수학 연구소. 록펠러 재단의 기금으로 지어진 이 새 건물은 1930년 힐버트와 쿠랑에 의해 문을 열었습니다.

괴팅겐 학파

힐베르트의 제자 중에는 헤르만 바일, 체스 챔피언 에마누엘 라스커, 에른스트 제르멜로, 칼 구스타프 헴펠이 있었습니다. 존 폰 노이만은 그의 조수였습니다. 괴팅겐 대학교에서 힐베르트는 에미 뇌터나 알론조 교회와 같은 20세기의 가장 중요한 수학자들의 사회적 모임에 둘러싸여 있었습니다.

괴팅겐에 있는 그의 69명의 박사과정 학생들 중에는 나중에 유명한 수학자가 된 사람들이 많이 있었습니다. 오토 블루멘탈 (1898), 펠릭스 번스타인 (1901), 헤르만 바일 (1908), 리차드 쿠랑 (1910), 에리히 헤케 (1910), 휴고 스타인하우스 (1911), 빌헬름 아커만 (1925).[13] 1902년에서 1939년 사이에 힐베르트는 당시 최고의 수학 잡지인 Mathematische Annalen의 편집자였습니다. 그는 1907년 미국 국립 과학 아카데미의 국제 회원으로 선출되었습니다.[14]

개인생활

1932년 이전에 콘스탄틴 카라테오도리와 함께 한 케트 힐베르트
힐베르트와 그의 아내 케테 예로슈 (1892)
프란츠 힐베르트

1892년 힐베르트는 쾨니히스베르크 상인의 딸인 케테 제로슈(Käthe Jerosch, 1864~1945)와 결혼했습니다.[15] 쾨니히스베르크에 있는 동안 그들은 프란츠 힐베르트(Franz Hilbert[de], 1893-1969)라는 자녀를 두었습니다. 프란츠는 평생 정신 질환을 앓았고, 정신과 병원에 입원한 후 힐베르트는 "이제부터, 저는 제 자신이 아들이 없다고 생각해야 합니다"라고 말했습니다. 프란츠에 대한 그의 태도는 케에게 상당한 슬픔을 가져다 주었습니다.[16]

힐베르트는 수학자 헤르만 민코프스키를 "가장 좋고 진실한 친구"라고 여겼습니다.[17]

힐베르트는 세례를 받고 프로이센 복음주의 교회에서 칼뱅주의자를 키웠습니다.[a] 그는 나중에 교회를 떠나 불가지론자가 되었습니다.[b] 그는 또한 수학적 진리가 신의 존재나 다른 선험적 가정과는 무관하다고 주장했습니다.[c][d] 갈릴레오 갈릴레이가 태양중심설에 대한 자신의 신념을 지지하지 못했다는 비판을 받자 힐베르트는 "하지만 갈릴레오는 바보가 아니었습니다. 오직 바보만이 과학적 진리가 순교를 필요로 한다는 것을 믿을 수 있었습니다; 그것은 종교에서 필요할지 모르지만, 과학적 결과는 적절한 시기에 그들 자신을 증명합니다."[e]

만년

알베르트 아인슈타인처럼, 힐베르트는 괴팅겐에서 힐베르트의 지도적인 설립자들(쿠르 그렐링, 한스 라이헨바흐, 발터 두비슬라프)[18]과 가장 가까운 접촉을 가졌습니다.

1925년경, 힐버트는 그 당시 치료할 수 없는 비타민 결핍증인 악성 빈혈을 일으켰고, 그의 조수 유진 위그너(Eugene Wigner)는 그를 "엄청난 피로"의 대상으로 묘사했고, 그가 어떻게 "나이가 든 것처럼 보였는지"에 대해 설명했습니다. 결국 진단과 치료를 받은 후에도, 그는 "1925년 이후에는 거의 과학자가 아니었습니다," 그리고 분명히 힐베르트도 아닙니다."[19]

힐버트는 1932년 미국 철학 학회에 선출되었습니다.[20]

힐베르트는 1933년 괴팅겐 대학교에서 나치가 많은 저명한 교수진을 숙청하는 것을 지켜보기도 했습니다.[21] 쫓겨난 사람들 중에는 헤르만 바일(1930년 은퇴할 때 힐베르트의 의자를 가져갔던 사람), 에미 노이더, 에드먼드 란다우 등이 있었습니다. 독일을 떠나야 했던 폴 베르네이스는 힐베르트와 수학적 논리학을 공동으로 연구했고, 그와 함께 중요한 책 그룬들라겐 데어 수학(1934년과 1939년 두 권으로 출판)을 공동 집필했습니다. 이것은 1928년에 나온 힐베르트-아커만의 수학적 논리의 원리의 후속편이었습니다. 헤르만 바일의 후계자는 헬무트 하세였습니다.

약 1년 후, 힐베르트는 연회에 참석했고 신임 교육부 장관인 베른하르트 러스트 옆에 앉았습니다. 러스트는 "유대인들의 이탈로 인해 수학연구소가 정말 그렇게 큰 고통을 겪었느냐"고 물었습니다. 힐버트는 대답했습니다, "고통을 입었습니까? 이제 더 이상 존재하지 않는 거지?"[23][24]

죽음.

힐베르트의 무덤:
위르뮈센
Wirden wisen

1943년 힐베르트가 사망할 때까지 나치는 대학을 거의 완전히 보수했습니다. 왜냐하면 많은 전 교수진이 유대인이거나 유대인과 결혼했기 때문입니다. 힐베르트의 장례식에는 십여 명 미만의 사람들이 참석했는데, 그들 중 오직 두 명만이 동료 학자들이었고, 그들은 이론 물리학자이자 쾨니히스베르크 출신이기도 한 아놀드 소머펠트였습니다.[25] 그의 사망 소식은 그가 죽은 지 몇 달 후에야 더 넓은 세상에 알려졌습니다.[26]

괴팅겐에 있는 그의 묘비명은 1930년 9월 8일 독일 과학 및 물리학 학회에서 은퇴 연설을 할 때 그가 말한 유명한 대사들로 구성되어 있습니다. 이 단어들은 라틴어 격언인 "Ignoramus et igunabimus" 또는 "우리는 알 수 없으며 알 수 없을 것이다"[27]에 대한 답으로 주어졌습니다.

힐베르트가 1930년 독일과학물리학자협회 연례회의에서 이 문구들을 발표하기 전날, 쿠르트 괴델은 협회 회의와 공동으로 열린 인식론 회의에서 원탁 토론에서 그의 불완전성 정리의 첫 번째 표현을 잠정적으로 발표했습니다.[f] 괴델의 불완전성 정리는 페아노 산술과 같은 기본 공리계도 자기 모순적이거나 그 체계 내에서 증명 또는 반증이 불가능한 논리 명제를 포함하고 있음을 보여줍니다.

수학과 물리학에 대한 공헌

고단의 문제를 해결한 힐버트

불변 함수에 대한 힐베르트의 첫 번째 연구는 1888년에 그의 유명한 유한 정리의 증명으로 이어졌습니다. 20년 전, 폴 고단은 복잡한 계산 접근법을 사용하여 이진 형태에 대한 생성기의 유한성 정리를 증명했습니다. 그의 방법을 두 개 이상의 변수를 가진 함수로 일반화하려는 시도는 관련된 계산의 엄청난 어려움 때문에 실패했습니다. 일부 서클에서 고르단의 문제로 알려졌던 것을 해결하기 위해 힐베르트는 완전히 다른 길을 가야 한다는 것을 깨달았습니다. 그 결과, 그는 어떤 변수에서든 추상적인 형태로 양자의 불변성에 대해 유한한 발전기 집합의 존재를 보여주는 힐베르트의 기초 정리를 증명했습니다. 즉, 그러한 집합의 존재를 증명하는 동안 그것은 "대상"을 표시하는 것이 아니라 존재 증명이었고[28] 무한한 확장에서 배제된 중간의 법칙을 사용하는 것에 의존했습니다.

힐버트는 그의 결과를 수학 잡지 Annalen에 보냈습니다. 마테미스케 안날렌의 불변성 이론에 대한 하우스 전문가인 고르단은 힐베르트 정리의 혁명성을 인정하지 못했고, 설명이 불충분하다는 이유로 비판하면서 이 글을 거부했습니다. 그의 말은 다음과 같습니다.

그러나 클라인은 이 작품의 중요성을 인식하고, 이 작품이 아무런 수정 없이 출판될 것임을 보장했습니다. 클라인의 격려를 받은 힐버트는 두 번째 기사에서 최소 발전기 집합의 최대 정도에 대한 추정치를 제공하면서 자신의 방법을 확장했고, 그는 그것을 다시 안날렌으로 보냈습니다. 원고를 읽은 클라인은 그에게 이렇게 편지를 썼습니다.

의심할 여지 없이 이것은 Annalen이 지금까지 발표한 일반 대수학에 관한 가장 중요한 연구입니다.[30]

후에 힐베르트의 방법의 유용성이 보편적으로 인정된 후에 고르단 자신은 이렇게 말하곤 했습니다.

저는 신학에도 장점이 있다고 스스로 확신했습니다.[31]

그의 모든 성공에도 불구하고, 그의 증명의 본질은 힐베르트가 상상할 수 있었던 것보다 더 많은 문제를 일으켰습니다. 크로네커는 인정했지만, 힐베르트는 나중에 "많은 다른 건축물들이 하나의 기본적인 아이디어 아래 포함되어 있다"는 다른 사람들의 비슷한 비판에 대해 다음과 같이 대답했습니다: "존재의 증명을 통해 힐베르트는 건축물을 얻을 수 있었다"; "증명"(즉, 페이지의 기호)은 "대상"이었습니다.[31] 모두가 확신한 것은 아닙니다. 크로네커는 얼마 지나지 않아 죽었지만, 그의 구성주의 철학은 젊은 브루어와 그의 발달하는 직관주의자 "학교"와 함께 계속될 것입니다.[32] 실제로 힐베르트는 직관주의로 인해 "영재" 와일을 잃게 될 것입니다."힐베르트는 그의 전 제자가 브루어의 사상에 매료되어, 힐베르트에서 크로네커에 대한 기억을 불러일으켰던 것에 대해 방해를 받았습니다."[33] 브루어는 특히 무한 집합에 대한 배제된 중간의 법칙의 사용을 반대했습니다. 힐베르트는 이렇게 대답했습니다.

수학자로부터 제외된 중간의 원리를 취하는 것은... 권투선수가 주먹을 사용하는 것을 금지하는 것과 같습니다.[34]

기하학 공리화

주 기사: 힐베르트의 공리

Grundlagen der Geometry(tr.: 텍스트 그룬들라게너 지오메트리) 1899년에 힐베르트가 출판한 기하학의 기초)는 전통적인 유클리드의 공리를 대체하여 힐베르트의 공리라고 불리는 공식적인 집합을 제안합니다. 그들은 유클리드의 것들에서 확인된 약점들을 피하는데, 그 당시의 작품들은 여전히 교과서적인 패션으로 사용되었습니다. 힐베르트가 여러 차례 변경, 수정하였기에 그룬들라겐의 출판사를 참고하지 않고서는 힐베르트가 사용한 공리를 특정하기가 어렵습니다. 오리지널 모노그래프는 힐베르트가 V.2, 완전성 공리를 추가한 프랑스어 번역본으로 빠르게 이어졌습니다. 힐버트에 의해 인가된 영어 번역본은 E.J.에 의해 만들어졌습니다. 타운센드는 1902년에 저작권을 갖게 되었습니다.[35][36] 이 번역은 프랑스어 번역에서 변경된 내용을 포함하고 있어 2판 번역으로 간주됩니다. 힐베르트는 본문에 계속해서 변화를 주었고 몇몇 판본들이 독일어로 나타났습니다. 7판은 힐베르트의 생애에서 마지막으로 등장한 것입니다. 7일 이후 새로운 판본이 나왔지만, 본문은 본질적으로 수정되지 않았습니다.[g]

힐베르트의 접근법은 현대의 공리적 방법으로의 전환을 암시했습니다. 여기서 힐베르트는 1882년부터 모리츠 패슈의 작품으로 기대를 모았습니다. 공리는 자명한 진리로 받아들여지지 않습니다. 기하학은 우리가 강력한 직관을 가지고 있는 것을 다룰 수 있지만, 정의되지 않은 개념에 명시적인 의미를 부여할 필요는 없습니다. 힐베르트가 쇤플라이와 쾨터에게 탁자, 의자, 맥주잔 등으로 말한 것으로 알려진 것처럼 점, 선, 평면 등의 요소를 대체할 수 있습니다.[37] 논의되는 것은 그들의 정의된 관계입니다.

Hilbert는 먼저 점, 선, 평면, 누운 상태(점과 선, 평면, 선과 평면 사이의 관계), 사이, 점 쌍의 합동(선분), 각도의 합동 등의 정의되지 않은 개념을 열거합니다. 그 공리들은 유클리드의 평면 기하학과 고체 기하학을 하나의 체계로 통합합니다.

23개의 문제들

주 기사: 힐베르트의 문제

힐베르트는 1900년 파리에서 열린 국제 수학자 대회에서 23개의 미해결 문제로 구성된 가장 영향력 있는 목록을 발표했습니다. 이것은 일반적으로 개별 수학자가 만들어낸 미해결 문제의 가장 성공적이고 깊이 고려된 편집으로 간주됩니다.[by whom?]

힐버트는 고전기하학의 기초를 다시 연구한 후에 나머지 수학까지 외삽할 수 있었습니다. 그러나 그의 접근 방식은 후대의 "재단론자" 러셀과 다릅니다.화이트헤드 또는 "백두대" 니콜라스 부르바키, 그리고 동시대의 주세페 페아노. 수학계 전체는 그가 수학의 중요한 영역의 중요한 측면으로 파악한 문제에 관여할 수 있었습니다.

문제집은 파리에서 열린 제2차 국제수학자대회 과정에서 발표된 토크 '수학의 문제'로 시작됐습니다. 힐베르트가 행한 연설의 서론은 다음과 같이 말했습니다.

우리 중에 누가 미래에 가려진 베일을 벗는 것을 좋아하지 않겠습니까? 앞으로 다가올 우리 과학의 발전과 앞으로 다가올 수 세기 동안의 과학 발전의 비밀을 바라보는 것을 말입니다. 미래 세대 수학자들의 정신이 지향할 목적은 무엇일까요? 방대하고 풍부한 수학적 사고의 장에서 새로운 세기는 어떤 방법, 어떤 새로운 사실을 드러낼 것인가요?[38]

그는 의회에서 제출한 문제의 절반도 되지 않는 것을 의회에서 발표했습니다. 그 후의 출판물에서, 그는 전경을 확장했고, 현재 대표적인 힐베르트의 23가지 문제의 공식에 도착했습니다. 힐베르트의 스물네 번째 문제도 참고하세요. 몇 개나 풀렸느냐는 질문이 나올 때마다 질문의 과도함은 여전히 피할 수 없는 논쟁의 문제가 될 수 있기 때문에 전문이 중요합니다.

이 중 일부는 짧은 시간 내에 해결되었습니다. 다른 것들은 20세기 내내 논의되어 왔으며, 일부는 이제 폐쇄되기 위해 부적절하게 개방된 것으로 간주됩니다. 일부는 여전히 과제로 남아 있습니다.

다음은 힐베르트가 1902년 번역한 미국 수학회 회보에 실린 23개 문제의 머리말입니다.

1. 연속체의 기수에 대한 칸토어의 문제.
2. 산술적 공리의 호환성.
3. 동일한 기저와 동일한 고도의 4면체 두 개의 부피의 동일성.
4. 두 점 사이의 최단거리로서의 직선의 문제.
5. 군을 정의하는 함수의 미분 가능성에 대한 가정 없이 연속적인 변환 군에 대한 Lie의 개념.
6. 물리학의 공리에 대한 수학적 처리.
7. 특정 숫자의 비합리성과 초월성.
8. 소수의 문제 ("리만 가설").
9. 어떤 숫자 분야에서든 가장 일반적인 상호성 법칙의 증명.
10. 디오판토스 방정식의 용해도 결정.
11. 임의의 대수적 수치 계수를 갖는 이차 형식
12. 아벨리안 장들에 관한 크로네커 정리를 유리수의 임의의 대수적 영역으로 확장
13. 단 2개의 논법의 함수에 의한 일반방정식의 해의 불가능성.
14. 특정 완전한 함수 체계의 유한성에 대한 증명.
15. 슈베르트의 열거적 미적분학의 엄격한 기초.
16. 대수적 곡선과 표면의 위상 문제.
17. 정사각형으로 명확한 형태를 표현합니다.
18. 합동 다면체로부터 공간을 구축하는 것입니다.
19. 변분 연산에서 규칙적인 문제들의 해는 항상 분석적인가요?
20. 경계값의 일반적인 문제(PDE의 경계값 문제).
21. 규정된 단색군을 갖는 선형 미분 방정식의 존재에 대한 증명.
22. 자동화 함수에 의한 분석 관계의 균일화.
23. 변분 연산의 방법에 대한 추가적인 발전.

형식주의

20세기 중반까지 표준이 된 설명에서 힐베르트의 문제집은 20세기 수학의 3대 학파 중 하나인 형식주의 학파의 발전을 위한 길을 열어준 일종의 선언문이기도 했습니다. 형식주의자에 따르면 수학은 합의된 형식적 규칙에 따라 기호를 조작하는 것입니다. 따라서 그것은 자율적인 사고 활동입니다. 그러나 이러한 의미에서 힐베르트 자신의 견해가 단순하게 형식주의적인 것이었는지에 대해서는 의문의 여지가 있습니다.

힐베르트의 프로그램

주 기사: 힐베르트의 프로그램

1920년에 힐버트는 힐버트의 프로그램으로 알려진 메타수학 연구 프로젝트를 제안했습니다. 그는 수학이 견고하고 완전한 논리적 기반 위에 공식화되기를 원했습니다. 그는 원칙적으로 다음과 같은 것을 보여줌으로써 이 작업을 수행할 수 있다고 믿었습니다.

  1. 모든 수학은 정확하게 선택된 유한한 공리 체계에서 따옵니다.
  2. 일부 그러한 공리계는 엡실론 미적분학과 같은 방법을 통해 입증 가능하게 일치합니다.

그는 이 제안을 만든 데에는 기술적인 이유와 철학적인 이유가 있었던 것 같습니다. 그것은 독일 사상에서 그의 시대에 여전히 활발한 문제인 무지나비무스로 알려지게 된 것에 대한 그의 혐오를 확인하고 그 공식에서 에밀 뒤 부아-레이몽으로 거슬러 올라갑니다.

이 프로그램은 일반적으로 형식주의라고 불리는 가장 대중적인 수학 철학에서 여전히 인식할 수 있습니다. 예를 들어, Bourbaki 그룹은 (a) 백과사전적 기초 저작물을 작성하고 (b) 연구 도구로서 공리적 방법을 지원하는 쌍둥이 프로젝트의 요구 사항에 적합한 물을 줄이고 선택적인 버전을 채택했습니다. 이 접근법은 대수학과 함수해석학에서 힐베르트의 연구와 관련하여 성공적이고 영향력이 있었지만 물리학과 논리학에 대한 그의 관심과 같은 방식으로 관여하는 데 실패했습니다.

힐베르트는 1919년에 다음과 같이 썼습니다.

우리는 여기서 어떤 의미로든 자의성에 대해 말하는 것이 아닙니다. 수학은 임의로 규정된 규칙에 의해 과제가 결정되는 게임과 같지 않습니다. 오히려 그렇지 않을 수밖에 없는 내적 필요성을 지닌 개념 체계입니다.[39]

힐베르트는 수학의 기초에 대한 자신의 견해를 2권으로 구성된 작품인 Grundlagen der Mathemetik에서 발표했습니다.

괴델의 작품

힐베르트와 그의 사업에서 함께 일했던 수학자들은 그 프로젝트에 전념했습니다. 이론적 불확실성을 제거할 수 있는 확정적인 원리로 공리화된 수학을 지지하려는 그의 시도는 실패로 끝났습니다.

괴델은 적어도 산술을 포함할 만큼 충분히 포괄적이었던 어떤 모순되지 않는 형식 체계도 그 자체의 공리를 통해 그 완전성을 증명할 수 없다는 것을 증명했습니다. 1931년 그의 불완전성 정리는 힐베르트의 원대한 계획이 말 그대로 불가능하다는 것을 보여주었습니다. 공리계가 진정으로 유한한 한, 두 번째 점은 첫 번째 점과 어떤 합리적인 방법으로도 결합될 수 없습니다.

그럼에도 불구하고, 증명 이론의 후속적인 성과는 수학자들에게 중심적인 관심을 가지는 이론과 관련되기 때문에 최소한 명확한 일관성을 보여줍니다. 힐베르트의 연구는 논리학을 설명하기 시작했고, 괴델의 연구를 이해해야 했기 때문에 1930년대에 수학적 논리학을 자율적인 학문으로 발전시켰습니다. Alonzo Church와 Alan Turing의 연구에서 후대의 이론 컴퓨터 과학의 기초 또한 이 "토론"에서 직접적으로 성장했습니다.[40]

기능분석

1909년경 힐베르트는 미분방정식과 적분방정식 연구에 전념했습니다. 그의 연구는 현대 함수해석학의 중요한 부분에 직접적인 결과를 가져왔습니다. 이러한 연구를 수행하기 위해 힐베르트는 나중에 힐베르트 공간이라고 불리는 무한 차원 유클리드 공간의 개념을 도입했습니다. 이 부분의 분석에서 그의 연구는 예상치 못한 방향에서나마 다음 20년 동안 물리학의 수학에 중요한 기여를 할 수 있는 기반을 제공했습니다. 나중에 스테판 바나흐는 바나흐 공간을 정의하면서 개념을 증폭시켰습니다. 힐베르트 공간은 20세기 동안 그 주변에서 성장한 함수 분석, 특히 자기 인접 선형 연산자의 스펙트럼 이론 분야에서 중요한 물체 부류입니다.

물리학

1912년까지 힐베르트는 거의 순수한 수학자였습니다. 물리학 공부에 몰두했던 본에서 방문을 계획할 때, 그의 동료 수학자이자 친구인 헤르만 민코프스키는 힐베르트를 방문하기 전에 10일 동안 격리 생활을 해야 한다고 농담을 했습니다. 사실 민코프스키는 1905년 이 주제에 대한 공동 세미나를 포함하여 1912년 이전의 힐베르트 물리학 연구의 대부분을 책임지고 있는 것으로 보입니다.

그의 친구가 죽은 지 3년 후인 1912년, 힐베르트는 거의 독점적으로 그 주제로 초점을 옮겼습니다. 그는 자신을 위한 "물리학 강사"를 주선했습니다.[41] 그는 운동 기체 이론을 공부하기 시작했고 기초 복사 이론과 물질의 분자 이론으로 넘어갔습니다. 1914년 전쟁이 시작된 후에도 그는 알베르트 아인슈타인 등의 작품을 면밀히 따라가는 세미나와 수업을 계속했습니다.

1907년까지 아인슈타인은 중력 이론의 기본 틀을 만들었지만, 이론을 최종 형태로 만들기 위해 거의 8년 동안 고군분투했습니다.[42] 1915년 초여름, 물리학에 대한 힐베르트의 관심은 일반상대성에 집중되었고, 아인슈타인을 괴팅겐으로 초대하여 일주일 동안 이 주제에 대한 강의를 하였습니다.[43] 아인슈타인은 괴팅겐에서 열렬한 환영을 받았습니다.[44] 여름 동안 아인슈타인은 힐베르트가 필드 방정식도 연구하고 있다는 것을 알게 되었고 자신의 노력을 배가시켰습니다. 1915년 11월, 아인슈타인은 중력의 장방정식("The Field Equations of Gravitation")이라는 논문을 발표했습니다("Einstein field equations" 참조).[h] 거의 동시에 힐베르트는 필드 방정식을 공리적으로 유도한 《물리학의 기초》를 출판했습니다.힐베르트 작용). 힐버트는 아인슈타인이 이 이론의 창시자라고 전적으로 인정했고, 필드 방정식에 관한 공공 우선순위 논쟁은 그들의 삶 동안에 일어난 적이 없었습니다.[i] 우선순위에서 더 많은 것을 봅니다.

그리고 힐베르트의 연구는 양자역학의 수학적 공식화에 있어서 몇 가지 진보를 예상하고 도움을 주었습니다. 그의 연구는 베르너 하이젠베르크의 행렬역학과 에르빈 슈뢰딩거의 파동방정식의 수학적 등가성에 관한 헤르만 바일과 존 폰 노이만의 연구의 핵심적인 측면이었고, 그의 이름과 같은 힐베르트 공간은 양자론에서 중요한 역할을 합니다. 1926년 폰 노이만은 양자 상태를 힐베르트 공간에서 벡터로 이해한다면 슈뢰딩거의 파동함수 이론과 하이젠베르크의 행렬 모두와 일치한다는 것을 보여주었습니다.[j]

물리학에 몰두하는 내내 힐버트는 물리학의 수학에 엄격함을 가하는 데 힘썼습니다. 고등 수학에 크게 의존하는 반면, 물리학자들은 그것에 대해 "슬렁슬렁"하는 경향이 있었습니다. 힐베르트 같은 순수한 수학자에게 이것은 추하기도 하고 이해하기도 어려웠습니다. 물리학과 물리학자들이 수학을 어떻게 사용하고 있는지를 이해하기 시작하면서, 그는 그가 발견한 것, 가장 중요한 것은 적분 방정식 분야에 대한 일관된 수학 이론을 개발했습니다. 그의 동료인 리차드 쿠랑이 힐베르트의 아이디어 중 일부를 포함한 현재의 고전적인 수학적 물리학 방법을 썼을 때, 그는 힐베르트가 이 글에 직접적으로 기여하지 않았음에도 불구하고 힐베르트의 이름을 저자로 추가했습니다. 힐베르트는 "물리학은 물리학자들에게 너무 어렵다"며 필요한 수학은 일반적으로 그들의 범위 밖에 있음을 암시했습니다. 쿠랑-힐베르트 책은 그들을 더 쉽게 만들었습니다.

수론

힐베르트는 1897년 그의 논문인 잘베리히트("수에 관한 보고서")로 대수적 수론 분야를 통일했습니다. 그는 또한 1770년 와링이 공식화한 중요한 정수론 문제를 해결했습니다. 유한성 정리와 마찬가지로, 그는 답을 산출하는 메커니즘을 제공하기보다는 문제에 대한 해결책이 있어야 한다는 것을 보여주는 존재 증명을 사용했습니다.[45] 그리고 나서 그는 그 주제에 대해 발표할 것이 거의 없었습니다. 그러나 한 학생의 논문에 힐베르트 모듈 형태가 등장했다는 것은 그의 이름이 더 큰 분야에 붙었다는 것을 의미합니다.

그는 계급장 이론에 대한 일련의 추측을 했습니다. 그 개념들은 매우 영향력이 있었고, 그 자신의 기여는 힐베르트 계급장의 이름과 지역 계급장 이론의 힐베르트 상징에 살아 있습니다. 결과는 타카기 테이지가 작업한 후인 1930년까지 대부분 증명되었습니다.[k]

힐베르트는 분석적 정수론의 중심 영역에서 활동하지 않았지만, 그의 이름은 힐베르트로 알려지게 되었습니다.폴랴 추측, 일화적인 이유로.

작동하다

그가 수집한 작품들(Gesammelte Abhandlungen)은 여러 차례 출판되었습니다. 그의 논문의 원본 버전에는 "다양한 정도의 많은 기술적 오류"가 포함되어 있습니다.[46] 컬렉션이 처음 발표되었을 때 오류가 수정되었고 연속체 가설의 주장된 한 가지 예외를 제외하고는 정리 진술에 큰 변경 없이 이 작업을 수행할 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.[47][48] 그럼에도 불구하고 오류가 너무 많고 심각해서 Olga Taussky-Todd가 수정하는 데 3년이 걸렸습니다.[48]

참고 항목

컨셉트

정리

다른.

각주

  1. ^ 힐버트 부부는 이 무렵 세례를 받고 결혼한 칼뱅주의 개신교 교회를 떠났습니다. – 리드 1996, 페이지 91
  2. ^ 다비드 힐베르트는 불가지론자로 보였고 신학의 정통성이나 심지어 종교와도 아무 관련이 없었습니다. 콘스탄스 리드는 이 주제에 대해 다음과 같이 말합니다.

    힐버트 부부는 이 무렵 [1902년경] 세례를 받고 결혼한 개혁 개신교 교회를 떠났습니다. 괴팅겐에서는 [데이비드 힐베르트의 아들] 프란츠가 학교에 다니기 시작했을 때 "당신은 무슨 종교입니까?"라는 질문에 대답할 수 없었다고 합니다(1970년, 페이지 91).

    1927년 함부르크 연설에서 힐베르트는 "수학은 가정이 필요 없는 과학이다." 그리고 "그것을 발견하기 위해 나는 좋은 신이 필요 없다." (1928년, S. 85년, van Heijenoort, 1967년, p. 479년)라고 주장했습니다. 그러나, Mathematische Problem (1900년)부터 Naturerkennen und Logik (1930년)까지 그는 인간의 정신과 순수한 생각의 힘에 준 종교적인 믿음을 사랑하는 어린이 수학에 두었습니다. 그는 모든 수학 문제가 순수한 이성에 의해 해결될 수 있다고 깊이 확신했습니다: 수학과 자연과학의 어떤 부분(수학을 통해) 모두에는 "무지개가 없다" (Hilbert, 1900, S. 262; 1930, S. 963; Ewald, 1996, pp. 1102, 1165). 그렇기 때문에 수학에 대한 내적 절대적 기초를 찾는 것이 힐베르트의 인생작으로 바뀐 것입니다. 그는 이 자리를 결코 포기하지 않았으며, 1930년 쾨니히스베르크 연설에서 "우리는 알아야만 한다, 우리는 알아야만 한다"라는 그의 말이 그의 묘비에 새겨져 있다는 것은 상징적입니다. 여기서 우리는 (조지 버클리의 말을 수정하기 위해) 떠난 신학의 유령을 만납니다. 왜냐하면 인간의 인식을 절대화한다는 것은 그것을 신성한 것과 암묵적으로 동일시한다는 것을 의미하기 때문입니다. -Shaposhnikov, Vladislav (2016). "Theological Underpinnings of the Modern Philosophy of Mathematics. Part II: The Quest for Autonomous Foundations". Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. 44 (1): 147–168. doi:10.1515/slgr-2016-0009.
  3. ^ "수학은 전제가 없는 과학입니다. 그것을 발견하기 위해 저는 크로네커와 마찬가지로 신이 필요하지 않으며, 수학적 귀납법의 원리에 맞춘 우리의 이해의 특별한 교수진의 가정, 즉 푸앵카레나 브루어의 원초적 직관, 또는 러셀과 화이트헤드가 실제로 존재하는 무한, 축소성 또는 완전성의 공리와 마찬가지로, 일관성 증명으로는 보상할 수 없는 내용적 가정"이라고 설명했다. 데이비드 힐버트, Die Grundlagen der Matheik, Hilbert의 프로그램, 22C:096, 아이오와 대학.
  4. ^ Michael R. Matthews (2009). Science, Worldviews and Education. Springer. p. 129. ISBN 978-90-481-2779-5. As is well known, Hilbert rejected Leopold Kronecker's God for the solution of the problem of the foundations of mathematics.
  5. ^ Constance Reid; Hermann Weyl (1970). Hilbert. Springer-Verlag. p. 92. ISBN 978-0-387-04999-1. Perhaps the guests would be discussing Galileo's trial and someone would blame Galileo for failing to stand up for his convictions. "But he was not an idiot," Hilbert would object. "Only an idiot could believe that scientific truth needs martyrdom; that may be necessary in religion, but scientific results prove themselves in due time."
  6. ^ "정확한 과학의 인식론에 관한 회의는 9월 5일부터 7일까지 3일간 진행되었습니다"(Dawson 1997:68). "독일 과학자 및 물리학자 협회의 제91차 연례 회의와 제6차 독일 물리학자 및 수학자 총회의 직전에 개최되었습니다. 괴델의 기고 대담은 [1930] 9월 6일 토요일 3시부터 오후 3시 20분까지 열렸고, 일요일에는 첫날의 연설에 대한 원탁 토론으로 마무리되었습니다. 후자의 사건에서 괴델은 경고도 없이 거의 노골적으로 "어떤 사람은 고전 수학의 형식적 체계에서는 증명할 수 없는 명제들(그리고 사실 골드바흐나 페르마의 형식적인 명제들)의 예를 제시할 수도 있다"(도슨:69)고 조용히 발표했습니다. 당시 힐베르트 자신은 쾨니히스베르크에 참석했지만, 인식론 회의에는 참석하지 않았습니다. 원탁회의 다음 날, 그는 독일 과학자 및 물리학자 학회에서 개막 연설을 했는데, 그의 유명한 강의인 네이처르케넨과 로지크(논리학과 자연 지식)는 그 말을 끝맺고 다음과 같이 선언했습니다. 자연과학을 위해서도 전혀... [아무도] 해결할 수 없는 문제를 발견하는 데 성공한 진정한 이유는, 제 생각에는 해결할 수 없는 문제가 없기 때문입니다. 어리석은 이그노라비무스와는 대조적으로, 우리의 신봉자들은 다음과 같습니다. 우리는 알아야 합니다. 우리는 [159]'(Dawson:71)를 알 것입니다. 괴델의 논문은 1930년 11월 17일(cf Reid p. 197, van Heijenoort 1976: 592)에 접수되어 1931년 3월 25일(Dawson 1997: 74)에 발표되었습니다. 하지만 괴델은 그것에 대해 사전에 이야기를 했었습니다. 1930년 10월 한스 한(Hans Hahn)에 의해 비엔나 과학 아카데미(Vienna Academy of Sciences)에 초록이 제출되었습니다.(van Heijenoort:592) 이 초록과 전체 논문은 모두 van Heijenoort:583ff에 나와 있습니다.
  7. ^ 독립적으로 그리고 동시에 로버트 리 무어라는 이름의 19세 미국 학생이 동등한 일련의 공리를 출판했습니다. 무어의 체계에서 일부 공리는 힐베르트의 정리이며, 그 반대의 경우도 있습니다.[citation needed]
  8. ^ 시간이 흐르면서 중력장 방정식을 힐베르트의 이름과 연관시키는 일은 점점 더 흔한 일이 되었습니다. 눈에 띄는 예외는 P. Jordan(Schwerkraft und Weltall, Braunschweig, Vieweg, 1952)으로 진공 중의 중력 방정식을 아인슈타인이라고 불렀습니다.힐베르트 방정식. (레오 코리, 데이비드 힐버트와 물리학 공리화, 437쪽)
  9. ^ 1971년 이래로 두 사람 중 어느 사람이 현재 받아들여지고 있는 필드 방정식의 형태를 처음으로 제시했는지에 대한 열정적이고 학술적인 논의가 있었습니다. "힐버트는 자유롭게 인정했고, 종종 강의에서 위대한 아이디어는 아인슈타인의 것이라고 말했습니다: "고팅겐의 거리에 있는 모든 소년은 아인슈타인보다 4차원 기하학에 대해 더 많이 이해합니다." "그러나 그럼에도 불구하고 아인슈타인은 그 일을 했고 수학자들은 하지 않았습니다."(Reid 1996, pp. 141–142, 또한 Isaacson 2007:222 Thorne pp. 119)
  10. ^ 1926년, 막스 보른과 베르너 하이젠베르크가 양자론을 행렬역학적으로 정리한 다음 해에 수학자 존 폰 노이만이 괴팅겐에서 힐베르트의 조수가 되었습니다. 1932년 폰 노이만이 떠나자 힐베르트의 수학을 바탕으로 한 양자역학의 수학적 기초에 관한 폰 노이만의 책은 'Matheische Grundlagen der Quantenmechanik'이라는 제목으로 출판되었습니다. 참고: Norman Macrae (1999) John von Neumann: 현대 컴퓨터, 게임 이론, 핵 억제 및 그 이상을 개척한 과학적 천재 (미국 수학 학회에 의해 재인쇄됨)와 리드 (1996).
  11. ^ 이 연구를 통해 다카기는 일본 최초의 국제적인 위상을 가진 수학자가 되었습니다.

인용

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  7. ^ 리드 1996, 1-2쪽; 또한 8쪽에서 리드는 힐버트가 정확히 어디서 태어났는지에 대해서는 다소 모호하다고 언급했습니다. 힐베르트 자신은 쾨니히스베르크에서 태어났다고 말했습니다.
  8. ^ 리드 1996, 4-7쪽.
  9. ^ 리드 1996, 11페이지
  10. ^ 리드 1996, 페이지 12.
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  31. ^ a b 리드 1996, 37쪽.
  32. ^ cf. 리드 1996, 148-149쪽.
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원천

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부차적 문헌

외부 링크

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