이중기준

선형대수학에서, 지수 집합 I에 의해 지수화된 벡터의 기본 B를 가진 벡터 공간 V의 경우(I의 카디널리티는 V의 차원성), B와 B가^∗ 생체역학 시스템을 형성하는 것과 같은 지수 집합 I를 가진 이중^∗ 공간 V의 벡터의 이중 집합 B이다^∗.듀얼 세트는 항상 선형 독립적이지만 반드시 V에^∗ 걸쳐지는 것은 아니다.만약 그것이 V에^∗ 걸쳐진다면, B를^∗ B에 대한 이중 베이스 또는 상호 베이스라고 부른다.

Denoting the indexed vector sets as ${\displaystyle B=\{v_{i}\}_{i\in I}}$ and ${\displaystyle B^{*}=\{v^{i}\}_{i\in I}}$, being biorthogonal means that the elements pair to have an inner product equal to 1 if the indexes are equal, and equal to 0 otherwise.상징적으로, 원래 공간의 벡터에서 V의^∗ 이중 벡터를 평가 V:

${\displaystyle v^{i}\cdot v_{j}=\i}={j}^{i}={\case}1&{\case}{{\case}i=j\\0&{\text}{}}}}{{}i\neq j{\text},}}}}}}.$

여기서 $\Delta {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 Kronecker 델타 기호다.

소개

벡터로 연산을 하려면 그 구성요소를 계산하는 간단한 방법이 있어야 한다.데카르트 프레임에서 필요한 연산은 벡터와 베이스 벡터의 도트 곱이다.^[1]예:

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{1}\mathbf {i} _{1}+x^{2}}\mathbf {i} _{2}+x^{3}}\mathbf {i} _{3}}$

여기서 $i{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 데카르트 프레임의 기본이다.$x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 구성 요소는 다음에서 찾을 수 있음$$

${\displaystyle x^{k}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {i} _{k}.}$

비카르테시아 틀에서, 우리는 반드시e_i · = 모든 i ≠ j에 대해 0.그러나 벡터를 찾는 것은 항상 가능하다.eⁱ 그런

${\displaystyle x^{i}=\mathbf {x} \cdot \mathbf {e}^{i}\qquad(i=1,2,3)}$

평등은 다음에 있다.eⁱ 의 이중 베이스e_i. 지수 i의 위치 차이를 주목한다.

데카르트 프레임에서는 ${\displaystyle {}^{}}$ $k{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$= ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$= ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ k .${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}=\mathbf {e} _{k}=\mathbf {i} _{k}.$$}$

존재와 고유성

듀얼 세트는 항상 존재하며 V에서 V로^∗ 주입, 즉 v를_i v로ⁱ 보내는 매핑을 준다.이것은 특히 이중 공간이 V의 그것과 더 크거나 같은 치수를 가지고 있다고 말한다.

그러나 무한 차원 V의 듀얼 세트는 그 듀얼 스페이스 V에^∗ 걸쳐 있지 않다.예를 들어, 모든 i에 대해 w(v_i) = 1로 제공된 기본 스칼라 F에 V의^∗ 지도 w를 고려하십시오.이 지도가 명확히 항상 vi에 조금이라도 있다.이중 기준 벡터 vi의 만약 w이 한정된 일차 결합, 아니)나는 α 나는 v 나는}유한한 하위 집합 K나는, 다음 중 j에 K에 있지 않은 _{나는}v^{나는}{\textstyle w=\sum_{Ki\in}\alpha K∈, w(vj))(α 나는 나는 v 나는 K∈ ∑)(vj) 돌아선 0{\textstyle w(v_{j})=\lef ∑ 말한다.$t(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)\left(v_{j}\$right)=$0$ w의 정의와 모순된다.따라서, 이 w는 듀얼 세트의 범위에 있지 않다.

무한 차원 공간의 이중은 원래의 공간보다 더 큰 차원성(이것이 더 큰 무한 카디널리티)을 가지며, 따라서 이것들은 동일한 인덱싱 세트로 근거를 가질 수 없다.그러나 이중 벡터 세트가 존재하며, 이것은 원래의 공간에 대한 이중 이형체의 하위 공간을 정의한다.또한 위상 벡터 공간의 경우 연속적인 이중 공간을 정의할 수 있으며, 이 경우 이중 기준이 존재할 수 있다.

유한차원 벡터공간

유한차원 벡터 공간의 경우, 듀얼 세트는 항상 이중 베이스로 되어 있으며 독특하다.이러한 기초는 B = { e₁, …, e_n^∗ } 및 B = { e¹, …, eⁿ }. 벡터에 대한 코브터의 평가를 쌍으로 나타내는 경우, 생체역학성 조건은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \left\langle e^{i}e_{j}\right\angle =\reght\angle =\regned _{j}^{i}}.}$

기초가 있는 이중기반의 연관성은 V의 기초공간에서 V의^∗ 기초공간까지 지도를 주고, 이 또한 이형상이다.실수와 같은 위상학 분야의 경우 이중의 공간은 위상학적 공간이며, 이는 이들 공간의 베이스의 스티펠 다지관 사이에 동형성을 부여한다.

이중공간의 범주적 및 대수적 구성

벡터 공간(모듈)의 이중 공간을 도입하는 또 다른 방법은 그것을 범주적 의미로 도입하는 것이다.이렇게 하려면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) $링{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$ 위에 정의된 모듈($$$즉{\displaystyle }$, A ${\displaystyle A}$은(는) $R{\displaystyle }$- ${\displaystyle M\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle \mathbf{d}}$ ${\$ 범주 내의 개체로$$ 두십시오.그런 다음$$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 이중 공간을 ${\displaystyle {}_{}}$하여 ${\displaystyle {\text{A}}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{ast}}$ $\},$ A ,${\displaystyle R}$)${\displaystyle {\text${}로 표시한다$.$$Hom}}_{R}(A,R)}$, the module formed of all ${\displaystyle R}$-linear module homomorphisms from ${\displaystyle A}$ into ${\displaystyle R}$. Note then that we may define a dual to the dual, referred to as the double dual of ${\displaystyle A}$, written as ${\displaystyle A^{\ast \ast }}$, and defined ${\displaystyle {\text{Home}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$, ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle {\text{$$홈}_{R}(A^{\ast }R$ .

이중 공간의 기준을 공식적으로 구성하기 위해, 이제 $F{\displaystyle }${\$displaystyle$F}이$$(가) 유한 치수 자유(왼쪽) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module인$$ 경우, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 통합의 고리인$$ 경우로 시야를 제한한다.Then, we assume that the set ${\displaystyle X}$ is a basis for ${\displaystyle F}$. From here, we define the Kronecker Delta function ${\displaystyle \delta _{xy}}$ over the basis ${\displaystyle X}$ by ${\displaystyle \delta _{xy}=1}$ if ${\displaystyle x=y}$ and ${\displaystyle {\delta }_{xy}}$${\displaystyle {}_{}=}$ ${\displaystyle 0}$ $[\displaystyle \delta _{xy}=0}$ $만약$ x ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle y}${\$displaystyle x\\neq$ ${\displaystyle y}$$\}.$ 그러면 $S{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle f{}_{}}$: F${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R{}_{}}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle {}_{}{y}_{}}$) =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$} ${\displaysty$ S$=\lbrace f_{x}:$$F\to R\; \;f_{x}(y)=\delta _{xy}\rbrace }}$은(는) 각 f ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Home}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}F}$, ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle f_{x}\\$text${\text}$에 있는 선형 독립 집합을 설명한다$$.$홈}_{R}(F,R$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$는 유한 차원이기 때문에 기본 X ${\displaystyle X}$는 유한 카디널리티가 된다.그러면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$이(가) $F{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ F$^{\ast }$의 기본이고$$, $F$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$은(오른쪽) $R{\displaystyle }${\$displaysty R}$ -module이다$$.

예

예를 들어, R²(카르트 평면)의 표준 기준 벡터는 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\right\}=\{pmatrix}1\\\0\end{pmatrix},{\pmatrix}0\1\end{pmatrix}\rig}\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이중 공간 R²*의 표준 기준 벡터는

${\displaystyle \left\{\mathbf {e}^{1},\mathbf {e}^{2}\right\}=\lift\{pmatrix}1&0\end{pmatrix},{\pmatrix}0&1\end{pmatrix}{pmatrix\}텍스트{\}.}}}$

3차원 유클리드 공간에서 주어진 기준₁ {e₂, e, e₃}에 대해 아래 공식에 의해 생체역학(이중) 기준 {e¹, e, e²³}을(를) 찾을 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{\mathsf {T}},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{\mathsf {T}}.}$

여기서 transpose를 나타남

${\displaystyle V\,=\,\left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)\,=\,\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,=\,\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})\,=\,\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}$

기본 벡터 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$e ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ e ${\displaystyle {}_{}}$. ${\display$ style $\mathbf {e} _{3}$에 의해 형성된 병렬 처리된 볼륨이다.$}$

일반적으로 유한 치수 벡터 공간에서 기초의 이중 ${\displaystyle {}_{}}$는 다음과 같이 쉽게 계산할 수 있다: $기초{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ 이중 기초$$$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle f^{}}$ ${\$ f$^{1},\dots,f^{n},$ ${\displaystyle {}^{}}$는 매트릭스를 구축할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}F&={\begin{bmatrix}f_{1}&\cdots &f_{n}\end{bmatrix}\\G&={\begin{bmatrix}f^{1}&\cdots &f^{n}\end{bmatrix}\ended{arged}}}}$

그 다음 이중 베이스의 정의 속성은 다음과 같이 명시한다.

${\displaystyle G^{\mathsf{T}F=I}$

따라서 이중 기준 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 행렬은 다음과 같이 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle G=\왼쪽(F^{-1}\오른쪽)^{\mathsf{T}}$

참고 항목

• 상호 격자
• 밀러 지수
• 구역 축

메모들

참조

• Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4.
• "Finding the Dual Basis". Stack Exchange. May 27, 2012.