기초(선형 대수)

같은 벡터는 두 개의 다른 베이스(보라색 화살표와 빨간색 화살표)로 나타낼 수 있습니다.

수학에서, $벡터$ 공간 V의 $벡터$ 집합 B는 만약 $V$ 의 모든 요소가 B의 $요소$ 의 유한 선형 조합으로 독특한 방식으로 쓰여질 수 있다면 기저라고 불린다.이 선형 조합의 계수를 B에 $대한$ 벡터의 성분 또는 좌표라고 합니다.기저의 요소는 기저 벡터라고 불립니다.

마찬가지로 $집합$ B는 그 원소가 선형 독립적이고, $V$ 의 모든 원소가 ^[1] $B$ 의 원소의 선형 조합인 경우에 기초가 된다.즉, 기본은 선형 독립 스패닝 세트입니다.

벡터 공간은 여러 개의 염기를 가질 수 있지만, 모든 염기는 벡터 공간의 차원이라고 불리는 동일한 수의 요소를 가지고 있습니다.

이 기사는 주로 유한 차원 벡터 공간을 다룬다.그러나 많은 원리는 무한 차원 벡터 공간에도 유효합니다.

정의.

$필드$ F 위의 벡터 $공간$ V의 $기저$ B(실수 R $또는$ $복소수$ C 등)는 V에 걸친 $선형$ 독립 서브셋이다.즉, V의 $하위$ $집합$ B가 다음 두 조건을 충족하는 경우 기준이 됩니다.

선형 독립성: $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ 의 모든 유한 $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ { $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ , $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ } { $displaystyle$ \ { \ $mathbf { v$ } $_$ { $1}$ \ $dotsc$ , \ $mathbf { v$ $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ { $m$ $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ \ { m } $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ { $display$ $_$ { $1$ } \ $mathbf$ { $v$ } _ { $c$ } \ $cdots }$ $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ 다음 c 1 $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ m $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$ { $displaystyle c_{1$ }=\ $cdots$ = $c_{m$ }= $0$
스패닝 특성: $V$ 의 모든 $벡터$ v에 $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ v $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ v $1$ + $display$ style $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ $_$ {1} $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ , $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ $1$ 의 $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ n $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ \ $dotsc$ $,$ $a$ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ { $n$ } , $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ n \ $display$ style \ $mathbf { v } _$ { $n$ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ 를 $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ 할 $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$ . $_{n$

$a_{i}$ $기저$ B에 대한 $벡터$ v의 좌표라고 불리며 첫 번째 특성에 의해 고유하게 결정된다.

기저가 유한한 벡터 공간을 유한 차원이라고 합니다.이 경우, 유한 서브셋은 위의 정의에서 선형 독립성을 확인하기 위해 B $자체$ 로 간주할 수 있습니다.

예를 들어 방향을 논할 때, 또는 기준 요소를 명시적으로 참조하지 않고 기준 벡터에 대한 벡터의 스칼라 계수를 고려할 때 기준 벡터에 대한 순서를 갖는 것이 편리하거나 심지어 필요하다.이 경우 순서는 각 계수를 대응하는 기준 요소에 관련짓기 위해 필요합니다.이 순서는 기본 요소에 번호를 매겨 수행할 수 있습니다.순서가 선택되었음을 강조하기 위해 순서 베이스(단순히 구조화되지 않은 집합이 아니라 시퀀스, 인덱스 패밀리 등)를 말합니다.아래의 순서 베이스 및 좌표 참조.

예

이 그림은 R의 표준² 기준을 보여줍니다.파란색과 주황색 벡터는 베이스의 요소입니다.녹색 벡터는 베이스 벡터의 관점에서 주어질 수 있기 때문에 이들 벡터에 선형적으로 의존합니다.

순서화된 실수 쌍의 $집합 2$ R은 성분별 덧셈 연산에 따른 벡터 공간이다.

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

및 스칼라 곱셈

(\displaystyle \displayda (a, b)=(\displayda a,\displayda b),}

여기서

{\(\displaystyle

\displayda)

은

\lambda

임의의 실수입니다.이 벡터 공간의 간단한 기초는 두 벡터 e = (

12

,

0)

와 e = (0, 1

)

로

구성

됩니다₁.R의

벡터 2

v = (

a,

b)

는 다음과 같이 고유하게 작성될 수 있기 때문에 이러한 벡터는 (표준 베이스라고 불린다) 기초를 형성한다.

\mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.

(

1, 1

) 및 (-

1,

2)와 같은

R

의² 선형 독립 벡터 쌍도 R의

기초

를² 형성한다.

보다 일반적으로 F가 필드인 $경우$ , F $원소$ 의 n-튜플 $F^{n}$ $(\$ F $^{n})$ 은 $F^{n}$ 마찬가지로 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈을 위한 벡터 공간이다.허락하다

\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)}

ih인 1을 제외한 모든 성분이 0인 n-튜플이 됩니다.

\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}

1,

\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}

\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}

n \

style \mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e}

_

{n}

은

\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}

F^{n}.

n

,

{

displaystyle

F

^{n}

의

F^{n},

F^{n}.

베이스입니다.

}

다른 맛의 예는 다항식 링에 의해 제시된다.F가 필드일 $경우$ , $F$ 에 계수가 있는 하나의 $불확정$ X에 있는 모든 다항식의 $집합$ F $[X]$ 는 F-벡터 공간이다.이 공간의 기초 중 하나는 모든 단수로 구성된 단항 $기저$ B이다.

B=\{1,X,X^{2},\ldots\}.

각 차수의 정확히 하나의 다항식이 있는 다항식 집합(예: 번스타인 기초 다항식 또는 체비셰프 다항식)도 기초가 된다.(이러한 다항식 집합을 다항식 수열이라고 합니다.)그러나 F

[X]

에는

이러한

형태가 아닌 많은 베이스가 있다.

특성.

유한 기저의 많은 특성은 벡터 $공간$ V에 대하여, 유한 스패닝 $집합$ S와 $V$ 의 n개의 요소의 $선형$ 독립 $집합$ L이 주어졌을 때, $S$ 의 n개의 웰 선택 요소를 L의 $요소$ 로 $치환$ 하여 S에 $다른$ 요소를 $갖는$ 스패닝 집합을 얻을 수 있고, Sam을 갖는 스패닝 집합을 얻을 수 있음을 나타내는 스타이니츠 교환 보조 법칙에서 비롯된다.e 요소의 수( $S$ ).

Steinitz 교환 법칙에 의해 생성되는 대부분의 속성은 유한 스패닝 집합이 없을 때 참으로 남지만, 무한 케이스에서의 증명은 일반적으로 선택 공리 또는 울트라 필터 법칙과 같은 더 약한 형태의 법칙을 필요로 합니다.

V가 $필드$ F 위의 벡터 공간인 $경우$ :

L이 $스패닝세트$ S ⊆ $V$ 의 선형에 의존하지 않는 서브셋일 $경우$ 다음과 같은 $베이스$ B가 존재합니다. $(\displaystyle L\subseteq B\subseteq S)$
$V$ 에는 기본이 있습니다(이는 L이 빈 $집합$ 이고 S = $V$ 인 $이전$ 속성입니다).
V의 $모든$ 기본은 동일한 카디널리티를 가지며, 이를 V의 차원이라고 합니다.이것이 차원 정리입니다.
생성 $집합$ S는 최소인 경우에만 $V$ 의 기초가 된다. 즉, S의 $적절한$ 부분 집합이 V의 $생성$ 집합이기도 하다.
선형 독립 $집합$ L은 최대인 경우에만, 즉 선형 독립 집합의 적절한 부분 집합이 아닌 경우에만 기초가 된다.

V가 $차원$ n의 벡터 공간인 $경우$ :

n개의 요소가 $있는$ $V$ 의 하위 집합은 선형 독립인 경우에만 기초가 됩니다.
요소가 $n개인$ V의 $하위$ 집합은 $V$ 의 스패닝 집합인 경우에만 기준이 됩니다.

좌표

V를 $필드$ F 위의 유한 $차원$ n의 벡터 공간이라고 $하자$ .

B=\{\mathbf {b}_{1},\ldots,\mathbf {b}_{n}\

V의

기본

이 됩니다.

V

의 모든 V는 다음과 같이 고유한 방법으로 기록될 수 있습니다.

\displaystyle \mathbf {v} =\displayda _{1}\mathbf {b} _{1} +\cdots +\displayda _{n}\mathbf {b} _{n}

여기서 계수

\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}

1,

\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}

\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}

n {\

displaystyle \lambda

_

{1},\ldots,\lambda

_

{n}

은

\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}

스칼라(즉, F의

요소

)이며, 이를 B 위의

v

의 좌표라고 합니다.그러나 계수 집합을 설명하면 계수와 기저 요소 간의 대응성이 상실되고 여러 벡터가 동일한 계수 집합을 가질 수 있습니다.예를 들어,

3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}

b

3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}

+

3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}

b 2 ({

displaystyle 3\mathbf {b}

_

{1}

+ 2

\mathbf {b}

_

{

2

3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}

})

2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}

2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}

2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}

1

+

2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}

2 ({

displaystyle

2\

mathbf {b} _{1}

+

3\mathb} _{

2})는

2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}

계수 {

2, 3

}

_{2}}의 집합이 같고 서로 다릅니다.따라서, 순서 있는 베이스로 작업하는 것이 편리합니다.일반적으로 첫 번째 자연수로 베이스 요소를 색인화하여 작업합니다.그 후, 벡터의 좌표는 마찬가지로 지수화된 시퀀스를 형성하고, 벡터는 좌표 시퀀스에 의해 완전히 특징지어진다.순서 베이스는 프레임이라고도 불리며, 다양한 맥락에서 일반적으로 사용되는 단어로서 좌표를 정의할 수 있는 일련의 데이터를 참조하기 위해 사용됩니다.

$F^{n}$ 처럼 F n $(\$ })을 $F$ 요소의 n-튜플 집합으로 합니다.이 세트는 F-벡터 공간이며, 더하기 및 스칼라 곱셈이 구성 요소별로 정의되어 있습니다.지도

\displaystyle \varphi : (\displayda _{1},\dots,\displayda _{n})\mapsto \displayda _{1}\mathbf {b}_{1}+\cdots +\displayda _{n}\mathbf {b}

는 벡터

F^{n}

(\

F

^{n})

에서

F^{n}

V로의 선형 동형입니다.즉,

({

F^{n})

은

F^{n}

V

의 좌표공간이고, n-튜플

θ

- 1

(v)

은

\varphi ^{-1}(\mathbf {v} )

v

의 좌표벡터이다.

$\mathbf {b} _{i}$ 의 $§$ {\ $displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ 에 $\mathbf b_i$ 의한 $\varphi$ 역이미지는 $\mathbf {e} _{i}$ $\mathbf {e} _{i}$ i입니다.이 n-tuple e i ${\displaystyle$ \ $mathbf {e} _{i}$ 의 $\mathbf {e} _{i}$ 컴포넌트는 모두0 입니다.이 경우 ih는 제외됩니다. $(\$ 는 $\mathbf {e} _{i}$ Fn $(\$ F $^{n$ 의 $F^{n}$ 베이스로, 표준 베이스 또는 표준 베이스라고 불립니다. $순서부여$ 베이스 B는 $(\$ F $F^{n}$ $n$ })의 $\varphi$ 베이스의 $"\displaystyle\varphi"$ 에 $\varphi$ 의한 이미지입니다.

따라서 모든 순서 베이스는 F $F^{n}$ {\display style $F^{n$ 의 $F^{n}$ 표준 베이스의 선형 동형성에 의한 이미지이며, $F^{n}$ n {\ $display style$ F $^{n$ }}에서 V로의 모든 선형 동형은 F $F^{n}$ {\ $displaystyle$ F $^{n}$ 의 $F^{n}$ $F^{n}$ 베이스에 매핑되는 동형상으로 정의될 수 있다.지정된 V의 $기준$ 입니다.즉, V의 $순서$ 베이스 또는 F $F^{n}$ (\ $style$ F $^{n})$ 에서 $F^{n}$ $V$ 로의 선형 동형을 정의하는 것과 같다.

기준 변경

V를 $필드$ F 위의 $차원$ n의 벡터 공간이라고 $하자$ .2개의 (순서 있는) $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ ( $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ , $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ , v $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ ) { $displaystyle$ B _ { \ $text$ { $old$ } = ( \ $mathbf { v }$ $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ { $n }$ ) $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ $、$ $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ new $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ ( $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ , $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ , $w$ n ) { $displaystyle$ B _ { text { $new$ = { $mathbf$ } $B_{\mathrm {new} }.$ b $B_{\mathrm {new} }.$ $B_{\mathrm {old} }$ \ $display$ B $_$ { \ $mathrm$ { $old$ } } $B_{\mathrm {old} }$ } $。{$ display $style$ B _ { \ $mathrm$ { $new }$ } 이것은 $B_{\mathrm {new} }.$ $B_{\mathrm {new} }.$ 에 $B_{\mathrm {old} }$ 설명된 기저 변경 공식에 의해 수행될 수 있습니다.첨자 "old"와 "new"는 각각 B $B_{\mathrm {old} }$ l $B_{\mathrm {old} }$ d { $style$ B_ ${\mathrm {old}}}$ 및 $B_{\mathrm {old} }$ B $B_{\mathrm {new} }$ $B_{\mathrm {new} }$ w {\ $display B_{\mathrm {new}}$ 을 $B_{\mathrm {new} }$ (를) 참조하는 것이 관례이기 때문에 선택되었습니다.일반적으로 이전 좌표를 새 좌표로 표현하고 새 좌표에 대해 동등한 표현식을 얻으려면 이전 좌표를 새 좌표로 표현하여 이전 좌표를 새 좌표로 표현함으로써 구 좌표를 새 좌표에 대한 표현식으로 대체하면 이전 좌표가 새 좌표로 대체됩니다.

일반적으로 새로운 기저 벡터는 이전 기저에 걸친 좌표에 의해 지정된다. 즉,

\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.

(

(x_{1},\ldots ,x_{n})

1,

(x_{1},\ldots ,x_{n})

,

(x_{1},\ldots ,x_{n})

)

(x_{1},\ldots ,x_{n})

{

displaystyle

( x

_

{1

}

, \

ldots

,

x

_ {

n

} }

(y_{1},\ldots ,y_{n})

( ( (

(y_{1},\ldots ,y_{n})

1

(y_{1},\ldots ,y_{n})

,

(y_{1},\ldots ,y_{n})

,

(y_{1},\ldots ,y_{n})

) {

displaystyle

(

y

_ {

1}

, \

ldots

, y _ {

n

} )이

(x_{1},\ldots ,x_{n})

(y_{1},\ldots ,y_{n})

각각 구베이스 및 신베이스에 대한

벡터x

의 좌표인

(x_{1},\ldots ,x_{n})

경우 베이스 변경은 다음과 같습니다.

x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}

i

= 1

,

...,

n

의 경우.

이 공식은 행렬 표기로 간결하게 작성될 수 있습니다.A를 $a_{i,j}$ $(\$ 의 매트릭스로 $합니다$ .

({displaystyle X=bgin{bmatrix}x_{1}\\vdots\x_{n}\end{bmatrix}\display Y=begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots\y_{n}\end{bmatrix})

각각 구근거와 신근거에서 v

좌표

의 열 벡터가 됩니다. 그러면 좌표 변경 공식은 다음과 같습니다.

(\displaystyle X=AY).}

공식은 두 개의 베이스에 $벡터$ x의 분해를 고려함으로써 증명될 수 있다: 하나는 다음을 가진다.

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i

그리고.

\mathbf {x} =\sum _{j=1} y_{j} {n} y_{j} \sum _{i=1}^{n} a_{i,j} \mathbf {v} = \sum {j} \sum {w}

기저변화 공식은 기본에 대한 벡터 분해의 고유성( $B_{\text{old}}$ 서 B $B_{\text{old}}$ old\ $displaystyle B_{\text{old$ 에서 비롯됩니다. 즉,

x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}

i

= 1

,

...,

n

의 경우.

관련 개념

빈 모듈

벡터 공간의 정의에서 발생하는 필드를 링으로 대체하면 모듈의 정의를 얻을 수 있습니다.모듈의 경우 선형 독립성 및 스패닝 세트는 벡터 공간과 동일하게 정의되지만 "생성 세트"가 "스패닝 세트"보다 더 일반적으로 사용됩니다.

벡터 공간과 마찬가지로 모듈의 기본은 선형 독립 부분 집합이며 생성 집합이기도 합니다.벡터 공간 이론과 가장 큰 차이점은 모든 모듈에 기반이 있는 것은 아니라는 것입니다.기반이 있는 모듈을 프리 모듈이라고 합니다.자유 모듈은 자유 분해능을 통해 비자유 모듈의 구조를 설명하는 데 사용될 수 있기 때문에 모듈 이론에서 기본적인 역할을 합니다.

정수 위의 모듈은 정확히 아벨 군과 같습니다.따라서 정수 위의 자유 모듈은 자유 아벨 군이기도 하다.자유 아벨 그룹은 모듈이 다른 링을 통해 공유하지 않는 특정 속성을 가집니다.특히, 자유 아벨군의 모든 부분군은 자유 아벨군이며, 만약 G가 완전히 생성된 자유 $아벨군$ H의 부분군(유한 기저를 갖는 아벨군)이라면, $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ e $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ , $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ n \ $displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e}$ _ $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ {} { $n},$ 0의 $정수$ 가 있다. $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ 1 $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ , $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ , $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ e $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ \ $displaystyle a$ _ {1} \ $mathbf { e$ } _ { } , $\ldots$ , $a$ _ { $k }$ $_$ { k } a $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ 、 0이 아닌 $a_{1},\ldots ,a_{k}$ a $a_{1},\ldots ,a_{k}$ , $a_{1},\ldots ,a_{k}$ , $a_{1},\ldots ,a_{k}$ \ $displaystyle a_{1$ } \ $ldots$ , $a_k$ a $a_{1},\ldots ,a_{k}$ 、 ian subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a§ a a a a a 。

분석.

실수 또는 복소수 위의 무한 차원 벡터 공간의 맥락에서, 하멜 기저(게오르그^[2] 하멜의 이름을 딴) 또는 대수 기저라는 용어는 이 기사에서 정의된 베이스를 참조하기 위해 사용될 수 있다.이것은 무한 차원 벡터 공간이 추가 구조를 부여받을 때 존재하는 "기본"의 다른 개념과 구별하기 위함이다.가장 중요한 대안은 힐베르트 공간의 직교 기저, 쇼더 기저, 그리고 노름 선형 공간의 마르쿠셰비치 기저이다.실수 R이 유리수의 필드 Q 위의 벡터 공간으로 간주되는 경우, 하멜 염기는 셀 수 없으며, 특히 연속체의 카디널리티를 가진다. $2^{\aleph _{0}}$ ${\$ 0 ( $\aleph _{0}$ 서 ${\$ 0 \ $displaystyle$ \ $aleph$ _ { $0$ $}$ )은 $\aleph _{0}$ 최소 무한 기수이다., 정수의 기수.

다른 개념의 공통적인 특징은 공간을 생성하기 위해 기저 벡터의 무한 선형 조합을 취할 수 있다는 것이다.물론, 이것은 위상 벡터 공간의 경우와 같이 이러한 공간에 무한합이 의미 있게 정의되어야 한다. 즉, 예를 들어 다음과 같은 벡터 공간의 큰 클래스이다.힐베르트 공간, 바나흐 공간 또는 프레셰 공간.

무한 차원 공간에 대한 다른 유형의 베이스 선호는 바나흐 공간에서 하멜 베이스가 "너무 커짐"을 통해 정당화된다.만약 X가 완전한 무한 차원 노름 벡터 공간(즉, X는 바나흐 공간)이라면, X의 하멜 베이스는 반드시 셀 수 없다.이것은 Baire 범주 정리의 결과이다.무한 차원뿐만 아니라 완전성은 이전 주장에서 중요한 가정입니다.실제로, 유한 차원 공간은 정의에 의해 유한 기저를 가지며, 셀 수 있는 하멜 기저를 갖는 무한 차원(비완전) 규범 공간이 있다.c $({$ 에 대해 $c_{00}$ 해 봅시다.실수의 $x=(x_{n})$ x ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$ $x=(x_{n})$ ( $x=(x_{n})$ $x=(x_{n})$ ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$ ){ $displaystyle$ $x=$ ( $x_{$ 의 $x=(x_{n})$ 공간은 0이 아닌 요소가 매우 많으며 ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$ $표준적$ 인 기준은 $1개뿐입니다.$ 0이 아닌 원소, 즉 1은 카운트 가능한 Hamel 기준입니다.

예

푸리에 급수를 연구할 때, $함수$ {1 $} ($ { $sin (nx),$ $cos (nx$ ): $n = 1$ , 2, 3, $...}$ 은 이 구간에서 제곱적분할 수 있는 모든 (실수 또는 복소수) 벡터 공간의 "직교 기저"라는 것을 알 수 있다. 즉, 함수 f를 만족시키는 것이다.

\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left f(x)\right ^{2},context <\infty .}

$함수$ {1} $sin$ { sin $(nx$ ), $cos ($ nx) : n $= 1,$ 2, 3, $...}$ 는 선형 독립적이며, [0, 2µ]에서 제곱 적분 가능한 모든 함수 f는 다음과 같은 의미에서 이들의 "최소 선형 조합"입니다.

\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^2\pi }\left a_{k=1}^n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\f(right)^0=2

적절한(실제 또는 복소) 계수_k a, b_k. 그러나 많은 제곱 적분 가능 함수는 이러한^[3] 기본 함수의 유한 선형 조합으로 표현할 수 없으며, 따라서 하멜 기준을 구성하지 않는다.이 공간의 모든 하멜 기초는 단순히 셀 수 있을 만큼 무한함수 집합보다 훨씬 큽니다.이런 종류의 공간의 하멜 베이스는 일반적으로 유용하지 않지만, 이러한 공간의 직교 정규 베이스는 푸리에 해석에 필수적이다.

기하학.

아핀 공간, 투영 공간, 볼록 집합, 그리고 원뿔의 기하학적 개념은 관련된 ^[4]기저 개념을 가지고 있다.n차원 아핀 공간의 아핀 기준은 일반 선형 위치에서 $n+1$ n + $(\displaystyle$ n+ $1}점$ 입니다 $n+1$ .투영 기준은 치수 n의 투영 공간에서 일반 위치에서 n $n+2$ + $n+2$ (\ $style$ n $+2})$ $n+2$ 입니다 $n+2$ .폴리토프의 볼록한 기초는 볼록한 선체의 꼭지점 집합이다.원뿔^[5] 베이스는 다각형 원뿔의 한 점 한 모서리로 구성됩니다.힐베르트 기준(선형 프로그래밍)도 참조하십시오.

랜덤 베이스

Rn의 equidistribution 같은 르베그 측도에 관해서는 다차원 볼이 확률 밀도 함수와 확률 분포에 대해서, n무작위로 독립적으로 선택한 벡터 확률 1로 완승의 일차 종속 벡터,..., Rn에 xn x1해야 할 예정이다 기초를 구성한다는 것을 보여 줄 수 있다.앉았다 $isfy$ 방정식 $det n [x 1$ ⋯ x]= $0$ ( $x열$ 이_i 있는 행렬의 0 행렬식)이며, 비균등 다항식의 0 집합은 0을 가진다.이러한 관찰은 무작위 염기를 ^[6]^[7]근사하는 기술로 이어졌다.

n차원 입방체

[-1, 1] n

에서 차원의 함수로 독립적으로 추출된 벡터 쌍으로 된 거의 직교 사슬의 길이 N의 경험적 분포 n. 상자 그림은 각 n에 대해 이 데이터의 2사분위수와 3사분위수를 나타내고 빨간색 막대는 중위수에 해당하며 파란색 별은 평균을 나타냅니다.빨간색 곡선은 Eq (1)에 의해 주어진 이론적 한계를 나타내며 녹색 곡선은 정교한 ^[7]추정치를 나타낸다.

선형 종속성 또는 정확한 직교성을 숫자로 확인하기 어렵습니다.따라서 γ-정통성의 개념을 사용한다.내부 곱이 있는 공간의 $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ x $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ $($ / ( $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ ‖ $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ y $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ ) < ${\$ \ $display$ style \ $left$ \ $langle x$ , y \ $right$ \ right / $\ left$ ( \ $left$ \ $x \ right \$ \ right ) < \ $varepsilon$ > ( cosine )의 각도가 다음과 같습니다.

고차원에서는 두 개의 독립 랜덤 벡터가 거의 직교할 확률이 높고, 쌍으로 거의 직교할 확률이 높은 독립 랜덤 벡터의 수는 차원에 따라 기하급수적으로 증가한다.좀 더 정확히는, n차원 공에서의 등분포를 고려해보자.공에서 독립 랜덤 벡터 N개(독립적이고 동일한 분포)를 선택합니다.be은 작은 양의 숫자입니다.그럼 다음에

{{displaystyle N\leq e^{\frac {varepsilon ^{2}n}{4}}[-\ln(1-\theta)]^{\frac {1}{2}}

(제1호)

$N개$ 의 랜덤 벡터는 $모두$ 확률 1 - ^[7] $θ$ 와 쌍으로 θ-직교합니다. $이$ N은 충분히 큰 $n$ 에 대해 $치수$ n과 $치수$ n $n에 따라$ 기하급수적으로 증가한다 $.$ 랜덤 베이스의 이러한 특성은 이른바 측정 집중 ^[8]현상의 발현이다.

그림(오른쪽)은 차원 함수로서 n차원입방체[- $1, 1] n$ 에서 독립적으로 무작위로 추출된 벡터 쌍으로 된 거의 직교 사슬의 길이 N의 분포를 보여준다. n. 입방체에서 점이 먼저 무작위로 선택된다.두 번째 점은 같은 입방체에서 랜덤하게 선택됩니다.벡터 사이의 각도가 $θ/2$ ± $0.037µ/$ 2 $이내$ 이면 벡터는 유지된다.다음 단계에서는 동일한 하이퍼큐브에 새로운 벡터가 생성되어 이전에 생성된 벡터와의 각도가 평가된다.이 각도가 $θ/2$ ± $0.037µ/$ 2 $이내$ 이면 벡터는 유지된다.이 과정은 거의 직교하는 사슬이 끊어질 때까지 반복되며, 이러한 쌍으로 된 거의 직교 벡터(체인 길이)의 수가 기록됩니다.각 n에 대해 20개의 쌍방향 거의 직교 체인이 각 차원에 대해 수치적으로 구성되었다.이들 체인의 길이 분포가 제시되어 있다.

모든 벡터 공간에는 기본이 있다는 증거

V가 일부 $필드$ F 위의 벡터 공간이라고 $가정$ 합니다.X를 V의 $모든$ 선형 독립 부분 집합의 집합이라고 $하자$ .

$집합$ X는 빈 $집합$ 이 V의 독립 서브셋이기 때문에 비어 있지 않고, 포함에 의해 부분적으로 순서가 매겨지며, 포함은 통상대로usual로 표시된다.

Y를 $X$ 의 부분집합으로 하고, $L$ 을_Y Y의 $모든$ 원소(V의 $특정$ 부분집합)의 합집합으로 $하자$ .

( $Y,$ θ)는 전순서이므로, $L$ 의_Y 모든 유한 부분 집합은 $V$ 의 선형 독립 부분 집합인 Y의 $요소$ 의 부분 집합이며, $따라서 Y$ L은 선형 독립적이다. $따라서 Y$ L은 $X$ 의 원소이다.따라서 $L$ 은_Y ( $X, θ$ )에서 Y의 $상한$ : $X$ 의 요소이며 Y의 $모든$ 요소를 포함합니다.

X가 비어 있지 않고 ( $X, θ$ )의 모든 전체 순서 부분 집합이 $X$ 의 상한을 $가지므로$ , Zorn의 보조 법칙은 X가 최대 원소를 갖는다고 $주장$ 한다.즉, X의 $원소$ $L$ 에 대해 L ⊆ $L일 때$ 마다_max L= $L$ 이라는_max 조건을 만족시키는 $X$ 의 $원소 max$ L이 존재한다.

L이 V의 $기본$ 이라는 $것$ 을_max 증명해야 합니다.L은 $X$ 에 속하기 $때문$ 에_max, 우리는 L이 $V$ 의 선형 독립 부분 집합이라는 $것$ 을_max 이미 알고 있다.

만약 L의 $범위$ 에_max 포함되지 않는 V의 $벡터$ w가 있다면 $w$ 도 L의 $요소$ 가_max 아닐 것이다. $L w$ = $L max$ ∪ { $w}$ 이(가)이 세트는 X의 $요소$ , 즉 V의 $선형$ 독립 서브셋입니다(w는 L의 범위에_max 있지 $않고 max$ L은 독립적이기 때문입니다).L $l w$ L $및 max$ L $l w$ L(L에 $포함$ 되지_max 않은 $벡터$ w를 포함하기 $때문$ 에_w)로서_max 이것은 $L$ 의_max 최대성과 모순된다.따라서 L이 V에 $걸쳐$ 있음을 $나타냅니다 max$ .

$따라서 max$ L은 선형 독립적이며 V에 $걸쳐$ 있습니다.따라서 이것은 $V$ 의 기저이며, 이것은 모든 벡터 공간이 기저를 가지고 있다는 것을 증명한다.

이 증거는 선택의 공리에 해당하는 조른의 보조개념에 의존한다.반대로, 만약 모든 벡터 공간이 기저를 가지고 있다면, 선택 공리는 ^[9]참이라는 것이 증명되었다.따라서 두 주장은 동일합니다.

「」를 참조해 주세요.

매트로이드의 기초
선형 프로그램의 기본
기저 변경 – 선형 대수의 좌표 변경
벡터 공간의 프레임
구면 기준 – 구면 텐서를 표현하기 위한 기준

메모들

^ Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.
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^ 두 집합의 기수가 동일하기 때문에 "대부분"이라고 말할 수 없다는 점에 유의하십시오(유한 수의 기본 함수로 나타낼 수 있는 함수 및 나타낼 수 없는 함수).
^ Rees, Elmer G. (2005). Notes on Geometry. Berlin: Springer. p. 7. ISBN 978-3-540-12053-7.
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^ ^a ^b ^c Gorban, Alexander N.; Tyukin, Ivan Y.; Prokhorov, Danil V.; Sofeikov, Konstantin I. (2016). "Approximation with Random Bases: Pro et Contra". Information Sciences. 364–365: 129–145. arXiv:1506.04631. doi:10.1016/j.ins.2015.09.021. S2CID 2239376.
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^ 블래스 1984

레퍼런스

일반 참고 자료

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Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6

이력 레퍼런스

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Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (in German)
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Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (in Italian), Turin

외부 링크

칸 아카데미의 교육 비디오
- 서브스페이스 베이스 소개
- 모든 부분 공간 기반에 동일한 수의 요소가 있다는 증거
"Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of linear algebra. August 6, 2016. Archived from the original on 2021-11-17 – via YouTube.
"Basis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

[2] 하멜 1905

[3] 두 집합의 기수가 동일하기 때문에 "대부분"이라고 말할 수 없다는 점에 유의하십시오(유한 수의 기본 함수로 나타낼 수 있는 함수 및 나타낼 수 없는 함수).

[4] Rees, Elmer G. (2005). Notes on Geometry. Berlin: Springer. p. 7. ISBN 978-3-540-12053-7.

[5] Kuczma, Marek (1970). "Some remarks about additive functions on cones". Aequationes Mathematicae. 4 (3): 303–306. doi:10.1007/BF01844160. S2CID 189836213.

[6] Igelnik, B.; Pao, Y.-H. (1995). "Stochastic choice of basis functions in adaptive function approximation and the functional-link net". IEEE Trans. Neural Netw. 6 (6): 1320–1329. doi:10.1109/72.471375. PMID 18263425.

[GorbanTyukin2016-7] Gorban, Alexander N.; Tyukin, Ivan Y.; Prokhorov, Danil V.; Sofeikov, Konstantin I. (2016). "Approximation with Random Bases: Pro et Contra". Information Sciences. 364–365: 129–145. arXiv:1506.04631. doi:10.1016/j.ins.2015.09.021. S2CID 2239376.

[8] Artstein, Shiri (2002). "Proportional concentration phenomena of the sphere" (PDF). Israel Journal of Mathematics. 132 (1): 337–358. CiteSeerX 10.1.1.417.2375. doi:10.1007/BF02784520. S2CID 8095719.

[9] 블래스 1984

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[9]

v t 선형 대수
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 투영 선형 스팬 선형 지도 선형 투영 선형 독립성 선형 조합 근거 기준 변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유벡터 전치 선형 방정식
매트릭스	블록 분해 반전 가능 작은 곱셈 순위 변혁 크레이머의 법칙 가우스 소거
쌍선형	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 외부 제품 크로네커 곱 그램-슈미트 과정
다선형 대수	행렬식 크로스 프로덕트 트리플 프로덕트 7차원 교차곱 기하학 대수 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	듀얼 다이렉트 기능 공간 몫 부분 공간 텐서 곱
숫자	부동 소수점 수치 안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희박 행렬 선형 대수 라이브러리 비교
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