아이젠슈타인 정수

복잡한 평면에서 삼각 격자의 교차점으로서의 아이젠슈타인 정수

수학에서 가끔 오일러 정수(Leonhard Euler)라고도 알려진^[1] 아이젠슈타인 정수(Gotthold Eisenstein의 이름)는 형태의 복잡한 숫자다.

z=a+b\omega,

여기서 $a$ 와 $b$ 는 정수이고

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt{3}}}{2}}=e^{{\frac {2\pi }{3}}}}}}}}}}}

단일성의 원시적(일반적으로 비현실적) 입방근이다. 아이젠슈타인 정수는 복잡한 평면에서 정사각형 격자를 이루는 가우스 정수와 대조적으로 복잡한 평면에서 삼각 격자를 형성한다. 아이젠슈타인 정수는 셀 수 없이 무한하다.

특성.

아이젠슈타인 정수는 대수적 숫자 $\mathbb {Q} (\omega )$ Q ( $\mathbb {Q} (\omega )$ ) $\mathb {Q} (\omega )$ 에서 대수적 정수의 정류 링을 형성한다. $\mathbb {Q} (\omega )$ - 세 번째 사이클로토믹 필드. 아이젠슈타인 정수가 대수 정수인지 확인하기 위해 각 $z$ = $a$ + $bΩ$ 이 단항 다항식의 루트임을 유의한다.

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\왼쪽(a^{2}-ab+b^{2)}\오른쪽)~~.

특히 $Ω$ 은 방정식을 만족시킨다.

\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0~}

$a$ + $bΩ$ 과 c+ $dΩ$ 의 두 아이젠슈타인 정수의 곱은 다음과 같이 명시적으로 주어진다.

(a+b\;\!)\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.}

아이젠슈타인 정수의 2정수는 그 제곱에 불과하며, 에 의해 주어진다.

(\displaystyle {\\왼쪽 a+b\;\!)\omega \}^{2}\,=\,{{{\tfrac {1}{2}}b)^{2}+{2}+{\tfrac {3}{4}}{4}^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2},},},}

그것은 분명히 양의 보통(일반) 정수다.

또한 $Ω$ 의 복잡한 결합이 만족한다.

{\bar {\omega }=\omega ^{2}~

이 링의 단위 그룹은 복잡한 평면에서 통일의 여섯 번째 뿌리에 의해 형성된 순환 그룹이다. 표준 1의 아이젠슈타인 정수 $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ : $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ { $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ ± $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ , $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ ± $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ ± Ω, ± $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ $\left\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\right\}~,$ ${\displaystyle \left\{\pm 1,\pm \omega,\pm \i1},}.$

아이젠슈타인 프라임즈

작은 아이젠슈타인.

$x$ 와 $y$ 가 아이젠슈타인 정수라면, $우리$ 는 $x$ 가 y = $zx$ 와 같은 아이젠슈타인 정수 $z$ 가 있으면 $y$ 를 나눈다고 말한다. 비단위 아이젠슈타인 정수 $x$ 는 그것의 유일한 비단위 디비저가 $ux$ 형태라면 아이젠슈타인 프라임이라고 하며, 여기서 $u$ 는 6단위 중 어느 하나라고 한다.

아이젠슈타인 프라임에는 두 가지 종류가 있다. 첫째, 2모드 3에 해당하는 보통 소수(또는 이성적 소수)도 아이젠슈타인 프라임이다. 둘째, 3과 1모드 3에 대한 모든 합리적인 원시적 합치는 아이젠타인 정수 $x$ + $Ωy$ 의 $표준 2$ x - $xy$ + $y$ 와² 같다. 따라서 그러한 프라임은 ( $x$ + $Ωy)(x$ + $Ωy 2)$ 로 간주될 수 있으며, 이러한 요인은 아이젠슈타인 프라임이다. 정확히 그들은 규범이 이성적인 프라임인 아이젠슈타인 정수들이다.

유클리드 주

아이젠슈타인 정수의 링은 위와 같이 제곱 계수에 의해 규범 $N$ 이 주어지는 유클리드 영역을 형성한다.

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

배당금 $\alpha$ $\alpha$ 및 $\alpha$ divisor $\beta \neq 0$ β $\beta \neq 0$ 0 $\beta \neq 0$ {\ $displaystyle \beta \neq$ 0 $\beta \neq 0$ 에 적용되는 분할 알고리즘은 divisor보다 작은 $\kappa$ $\rho$ 지수 $\cappa$ 을 $\kappa$ 나타내며 다음을 만족한다.

\\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \{\\\text{{\\\n(\rho )<N(\beta).}

여기서 $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ , $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ , $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ , $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ 은 $\alpha ,\beta ,\kappa ,\rho$ 모두 에이젠슈타인 정수다. 이 알고리즘은 유클리드(유클리드)의 보조정리법과 아이젠슈타인 정수의 고유한 요소화를 아이젠슈타인 프리타임으로 증명하는 유클리드 알고리즘을 내포하고 있다.

1분할 알고리즘은 다음과 같다. 먼저 복잡한 숫자의 분야에서 분배를 수행하고, Ω의 관점에서 몫을 기록한다.

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\  \beta  ^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

합리적인 $a,b\in \mathbb {Q}$ , $a,b\in \mathbb {Q}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ $a,b\in \mathbb {Q}$ ${\$ 그런 다음 합리적인 계수를 가장 가까운 정수로 반올림하여 에이젠슈타인 정수 지수를 구하십시오.

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

여기서 $\lfloor x\rceil$ $\lfloor x\rceil$ $\lfloor x\rceil$ $\lfloor x\rceil$ 은(는) 표준 반올림-정수 함수를 나타낼 수 있다 $\lfloor x\rceil$ .

대부분의 다른 2차 정수 링에 대해 유사한 절차가 실패하는 동안 $N(\rho )<N(\beta )$ $N(\rho )<N(\beta )$ 이 N ( $N(\rho )<N(\beta )$ ) < $N(\rho )<N(\beta )$ N ( $N(\rho )<N(\beta )$ ) $N(\rho )<N(\beta )$ {\ $displaystyle$ N $(\rho )><N(\beta )}$ 을(를) 만족시키는 이유는 다음과 같다. A fundamental domain for the ideal $\mathbb {Z} [\omega ]\beta =\mathbb {Z} \beta +\mathbb {Z} \omega \beta$ , acting by translations on the complex plane, is the 60°-120° rhombus with vertices $0,\beta ,\omega \beta ,\beta {+}\omega \beta$ . Any Eisenstein 정수 α는 이 평행사변형의 번역 중 하나에 들어 있으며, 지수 $\kappa$ 는 그 정점 중 하나이다 $\kappa$ . α 이 꼭지점까지 나머지는 그 광장 거리지만, 우리의 알고리즘에 가능한 최대 거리는 단지 32β{\displaystyle{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\beta}, 그렇게 ρ ≤ 32β<>β{\displaystyle\rho \leq{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\beta<>\beta}.ρ coul의(크기를 나타냅니다.d다 $\kappa$ $\kappa$ 을(를) 가장 가까운 코너로 $\kappa$ 지정하여 약간 감소하였다.)